herleitung Schwingungsdauer < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo und guten Nachmittag
Ich möchte die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels herleiten, die ja wie folgt lautet
T = [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{l}{g}}
[/mm]
Eine Harmonische Schwingung kann ich ja als Funktion in Abhängigkeit der Zeit wie folgt ausdrücken:
x(t) = [mm] x_0 [/mm] * sin ω*t
[mm] x_0: [/mm] Amplitude
1. Ableitung
[mm] \dot [/mm] x(t) = [mm] x_0 [/mm] * ω* cos(ω*t) =
2. Ableitung
[mm] \dot \dot [/mm] x(t) = - [mm] x_0 [/mm] * ω^2 * sin(ω*t)
Die Differentialgleichung des mathematischen Pendel ist:
J*Winkelbeschleunigung = -g * sin(Winkel)
Tangentialbeschleunigung = r*Winkelbeschleunigung
Bahngeschwindigkeit = r*Winkelgeschwindigkeit
Ich komme nicht weiter wie ich das machen soll, danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die allgemein Schwingungsgleichung lautet doch (ohne Reibung)
[mm] $m\ddot{x} [/mm] + [mm] \omega^2 [/mm] x = 0$
Wenn wir das jetzt fuer das Pendel uebertragen wollen, steht da sowas (anstatt $x$ betrachten wir nun den Auslenkungswinkel [mm] $\varphi$) [/mm]
In der Punktmechanik gilt doch:
[mm] $m\ddot{x} [/mm] = [mm] \sum \text{Kraefte}$
[/mm]
Bei den Drehbewegungen muss dann die Masse durch das Traegheitsmoment ersetzt werden, $x$ durch den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] und die Summe aller Kraefte ist gleich der Summe aller wirkenden Drehmomente:
[mm] $I\ddot{\varphi} [/mm] = [mm] \vec{M} [/mm] $
Wenn wir jetzt nen Massepunkt haben, wie gross ist dann $I$? Und was ist das wirkende Drehmoment?
Wenn du dir das vernuenftig hinschreibst, und dann die Naehrung fuer kleine Auslenkungen [mm] $\sin\varphi \approx \varphi$ [/mm] machst, wirst du auf eine DGL der Form
[mm] $\ddot{\varphi} [/mm] + [mm] \omega^2 \varphi [/mm] = 0$
kommen.
Dann kannst du sofort [mm] $\omega^2$ [/mm] ablesen, und dann mit [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{T}$ [/mm] die Schwingungsdauer ablesen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo, Danke für die Antwort
> [mm]m\ddot{x} + \omega^2 x = 0[/mm]
was ist [mm] \omega^2 [/mm] x? ich verstehe das nicht
Auf meinen Blatt lese ich was anderes.
[mm] J*\ddot{\varphi} [/mm] = - g * sin [mm] ({\varphi})
[/mm]
[mm] {\varphi} [/mm] = sin [mm] ({\varphi})
[/mm]
J = m * [mm] l^2 [/mm] (für mathematisches Pendel nur Steineranteil, da Punktmasse)
m * [mm] l^2*\ddot{\varphi} [/mm] = - g * [mm] {\varphi}
[/mm]
Wie du bereits geschrieben hast:
[mm] \omega [/mm] = [mm] \frac{2\pi}{T}
[/mm]
Doch in meiner Gleichung habe ich ja nirgends [mm] \omega [/mm] (Winkelgeschwindigkeit) , so dass ich diesen Ausdruck einsetzen könnte?
α= [mm] \bruch{\omega }{t}
[/mm]
[mm] \omega [/mm] = α * t
Aber eben du hast ja eine andere Ausgangsgleichung genommen
Gruss Kuriger
>
> Wenn wir das jetzt fuer das Pendel uebertragen wollen,
> steht da sowas (anstatt [mm]x[/mm] betrachten wir nun den
> Auslenkungswinkel [mm]\varphi[/mm])
>
> In der Punktmechanik gilt doch:
>
> [mm]m\ddot{x} = \sum \text{Kraefte}[/mm]
>
> Bei den Drehbewegungen muss dann die Masse durch das
> Traegheitsmoment ersetzt werden, [mm]x[/mm] durch den Winkel [mm]\varphi[/mm]
> und die Summe aller Kraefte ist gleich der Summe aller
> wirkenden Drehmomente:
>
> [mm]I\ddot{\varphi} = \vec{M}[/mm]
>
> Wenn wir jetzt nen Massepunkt haben, wie gross ist dann [mm]I[/mm]?
> Und was ist das wirkende Drehmoment?
>
> Wenn du dir das vernuenftig hinschreibst, und dann die
> Naehrung fuer kleine Auslenkungen [mm]\sin\varphi \approx \varphi[/mm]
> machst, wirst du auf eine DGL der Form
>
> [mm]\ddot{\varphi} + \omega^2 \varphi = 0[/mm]
>
> kommen.
>
> Dann kannst du sofort [mm]\omega^2[/mm] ablesen, und dann mit [mm]\omega = \frac{2\pi}{T}[/mm]
> die Schwingungsdauer ablesen.
>
> LG
>
> Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
die Schwingungsgleichung habe ich so hingeschrieben, weil das die einfachste Form ist, die man fuer eine Schwingung hinschrieben kann. Was nun genau das [mm] $\omega^2$ [/mm] ist, muss man halt im speziellen Rausfinden.
Beispiel:
Feder:
[mm] $m\ddot{x} [/mm] + kx = 0$ also
[mm] $\ddot{x} [/mm] + [mm] \frac{k}{m}x=0$
[/mm]
Jetzt vergleicht man mit [mm] $\ddot{x}+\omega^2 [/mm] x = 0$ und liest ab:
[mm] $\omega^2 [/mm] = [mm] \frac{k}{m}$
[/mm]
Jetzt ist man quasi fertig, wenn man sich nur fuer die Schwingungsdauer interessiert, da man ja die Loesungen der allgemienen DGL oben kennt:
$x(t) = [mm] A\cos\omega [/mm] t + [mm] B\sin\omega [/mm] t = [mm] \tilde{A} \cos(\omega [/mm] t + [mm] \varphi_0)$ [/mm] (man kann die Summe aus [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] immer so umschreiben, dass man nur einen [mm] $\cos$ [/mm] hat mit entsprechender Phase).
D.h. an der Loesung sehen wir, dass [mm] $\omega$ [/mm] die Kreisfrequenz ist.
Nun zu deinem Fall:
[mm] $J=ml^2$ [/mm] passt soweit. Rechts sollte aber sowas stehen wie [mm] $-gl\sin\varphi$, [/mm] weil man ja [mm] $\vec{r}\times\vec{F}$ [/mm] berechnen muss, wo noch die Laenge des Pendels ins Spiel kommt.
Also lautet die DGL:
[mm] $ml&2\ddot{\varphi} [/mm] + mgl [mm] \varphi [/mm] = 0$
Jetzt kann man das in die Form
[mm] $\ddot{\varphi} [/mm] + [mm] \omega^2 \varphi [/mm] = 0$
bringen, und damit die Kreisfrequenz [mm] $\omega$ [/mm] bestimmen.
Das ist dann der Weg, wo man versucht, die Schwingungsdauer aus der Differentialgleichung zu extrahieren, ohne sie exakt zu loesen.
Ist es dir nun klarer?
LG
Kroni
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