"heiteres Funktionsraten" < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mi 29.09.2010 | | Autor: | froehli |
In der Mathe Vorkurs Vorlesung an meiner Uni kam etwas dran, was der Dozent als "heiteres Funktionsraten" beschrieben hat. Sollte das hier der Falsche Ort sein, bitte ich dies zu Entschuldigen.
Meine Mitschrift sieht wie folgt aus:
1)
g(x) ist gesucht
g(u+v) = g(u) + g(v)
g(u+0) = g(u) + g(0) => g(0) = 0
g(n*v) = n*g(u)
Lösung müsste g(x) = x sein
2)
h(x)ist gesucht
h(u+v) = h(u) + l*v
h(v+0) = h(0) + l*0 = h(u) <- An dieser Stelle könnte ich mich verschrieben haben
/* h(u+0) = h(u) + l*0 */ <- Dies wäre die alternative
h(0) = "b"
Lösung: h(x) = lx + b
3)
[mm] k(x)^{2} [/mm] ist gesucht
k(u+v) = k(u) * k(v)
k(u+0) = k(u) * k(0)
k(n*u) = [mm] (K(u))^{n}
[/mm]
Lösung: Exponentialfunktion K(x) = [mm] a^{x}
[/mm]
zu 3. Standen noch ein Paar Definitionen daneben:
[mm] a^{u+v} [/mm] = [mm] a^{u} [/mm] * [mm] a^{v}
[/mm]
[mm] a^{0} [/mm] = 1
K(0) = 1
[mm] a^{nv} [/mm] = [mm] (a^{n}^{v}
[/mm]
Wenn ich ihn richtig Verstanden habe, dann wollte er uns damit irgendwie beweisen/erklären, dass man den Verlauf einer Funktion erahnen kann, wenn man die Elemente einzeln betrachtet. Jedoch erschließt sich das für mich nicht aus meiner Mitschrift
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 30.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
was bei Dir völlig fehlt ist die Trennung zwischen gegebenen Infos und was daraus folgt:
> 1)
> g(x) ist gesucht
> g(u+v) = g(u) + g(v)
Nur diese Eigenschaft ist gegeben.
Daraus folgt
> g(u+0) = g(u) + g(0) => g(0) = 0
Man beachte: $g(u+0)=g(u)$ Da kommt der Folgepfeil her.
Und es folgt auch:
> g(n*v) = n*g(u)
Das ist nur die gegebene Eigenschaft wiederholt angewandt. ( [mm] $n\in\IN$)
[/mm]
Hier hätte ich gerne eine Ausarbeitung von Dir, warum das gilt. Dann die Erweiterung, warum auch
[mm] $g\left(\frac vn\right)=\frac1n g(v),\qquad n\in\IN$
[/mm]
Und für Bonuspunkte dann die Begründung, warum deswegen für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] (bzw. zuerst mal in [mm] $\IQ$) [/mm] gilt
$g(xv)=x*g(v)$
Setzen wir $v=1$, dann steht da
$g(x)=x*g(1)$
mit der Bezeichnung $a:=g(1)$ also
$g(x)=ax$
Das folgt direkt aus $g(u+v)=g(u)+g(v)$
> 2)
> h(x)ist gesucht
> h(u+v) = h(u) + l*v
Nur diese Eigenschaft ist gegeben.
> h(v+0) = h(0) + l*0 = h(u) <- An dieser Stelle könnte ich
> mich verschrieben haben
Das hast Du.
[mm] $h(v)=h(v+0)=\ldots$
[/mm]
> /* h(u+0) = h(u) + l*0 */ <- Dies wäre die alternative
Das ist zwar richtig, aber sinnlos. Da steht nur $h(u)=h(u)$. Nur wenn Du die gegebene Eigenschaft andersrum anwendest (d.h. v+0 statt u+0), kommst Du auf was interessantes.
> h(0) = "b"
Gewöhn Dir an, Definitionen von Konstanten und allgemein allem anderen Zeugs, so zu schreiben:
$b:=h(0)$ (bzw. $h(0)=:b$)
Du wirst es im Laufe der nächsten Jahre unzählige Male tun. =)
> 3)
> [mm]k(x)^{2}[/mm] ist gesucht
wieso das Quadrat? Strange.
> k(u+v) = k(u) * k(v)
> k(u+0) = k(u) * k(0)
> k(n*u) = [mm](K(u))^{n}[/mm]
> Lösung: Exponentialfunktion K(x) = [mm]a^{x}[/mm]
Hier müßte man dann nämlich auch noch quadrieren.
>
> Wenn ich ihn richtig Verstanden habe, dann wollte er uns
> damit irgendwie beweisen/erklähren, dass man den Verlauf
> einer Funktion erahnen kann, wenn man die Elemente einzeln
> betrachtet. Jedoch erschließt sich das für mich nicht aus
Er wollte zeigen, daß die Funktion oft schon aus sehr grundlegenden Aussagen über den Verlauf (z.B. $k(u+v)=k(u)*k(v)$) folgt. Wenn Du weißt, daß sich irgendeine Größe in fester Zeit T verdoppelt, dann folgt daraus also schon eine exponentielle Gestalt (weil Du weißt, daß $k(t+T)=k(t)*2~$).
Sind die Zuwächse hingegen in fester Zeit T konstant, dann ist das Wachstum linear.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 04.10.2010 | | Autor: | froehli |
> > 1)
> > g(x) ist gesucht
> > g(u+v) = g(u) + g(v)
> Nur diese Eigenschaft ist gegeben.
>
> Daraus folgt
> > g(u+0) = g(u) + g(0) => g(0) = 0
> Man beachte: [mm]g(u+0)=g(u)[/mm] Da kommt der Folgepfeil her.
Den Teil kann ich nachvollziehen.
>
> Und es folgt auch:
> > g(n*v) = n*g(u)
> Das ist nur die gegebene Eigenschaft wiederholt angewandt.
Hier weiß ich nicht woher man das ahnen soll.
Wenn ich g(4*x) = x² + 3 habe ist es doch anderas als wenn ich g(x) = 4*(x²+3) habe, oder? Beim ersteren wird nur das x vervierfacht und beim zweiteren der ganze Term. Wenn ich nun g(x) = 4*(x²+z+3) nehme, fällt es noch mehr auf.
> ( [mm]n\in\IN[/mm])
> Hier hätte ich gerne eine Ausarbeitung von Dir, warum das
> gilt. Dann die Erweiterung, warum auch
>
> [mm]g\left(\frac vn\right)=\frac1n g(v),\qquad n\in\IN[/mm]
>
> Und für Bonuspunkte dann die Begründung, warum deswegen
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] (bzw. zuerst mal in [mm]\IQ[/mm]) gilt
> [mm]g(xv)=x*g(v)[/mm]
>
> Setzen wir [mm]v=1[/mm], dann steht da
>
> [mm]g(x)=x*g(1)[/mm]
>
> mit der Bezeichnung [mm]a:=g(1)[/mm] also
>
> [mm]g(x)=ax[/mm]
> Das folgt direkt aus [mm]g(u+v)=g(u)+g(v)[/mm]
Warum?
>
Für eine Bonusaufgabe, fehlt es mir noch ein bisschen an verständnis für die Thematik und/oder eine herangehensweise, wie man so etwas Methodisch ausarbeitet.
>
>
>
> > 2)
> > h(x)ist gesucht
> > h(u+v) = h(u) + l*v
> Nur diese Eigenschaft ist gegeben.
>
>
> > h(v+0) = h(0) + l*0 = h(u) <- An dieser Stelle könnte ich
> > mich verschrieben haben
> Das hast Du.
> [mm]h(v)=h(v+0)=\ldots[/mm]
>
>
> > /* h(u+0) = h(u) + l*0 */ <- Dies wäre die alternative
> Das ist zwar richtig, aber sinnlos. Da steht nur
> [mm]h(u)=h(u)[/mm]. Nur wenn Du die gegebene Eigenschaft andersrum
> anwendest (d.h. v+0 statt u+0), kommst Du auf was
> interessantes.
>
Es stand definitiv irgendein Faktor mit in der Gleichung
> > h(0) = "b"
> Gewöhn Dir an, Definitionen von Konstanten und allgemein
> allem anderen Zeugs, so zu schreiben:
> [mm]b:=h(0)[/mm] (bzw. [mm]h(0)=:b[/mm])
> Du wirst es im Laufe der nächsten Jahre unzählige Male
> tun. =)
>
>
>
> > 3)
> > [mm]k(x)^{2}[/mm] ist gesucht
> wieso das Quadrat? Strange.
>
>
> > k(u+v) = k(u) * k(v)
> > k(u+0) = k(u) * k(0)
> > k(n*u) = [mm](K(u))^{n}[/mm]
> > Lösung: Exponentialfunktion K(x) = [mm]a^{x}[/mm]
> Hier müßte man dann nämlich auch noch quadrieren.
>
Ist das quadrat da nun richtig, oder nicht?
Warum wird aus dem kleinen "k" ein großes "K"?
Irgendwie erkenne ich da der 2. zeile keinen zusammenhang mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Hier weiß ich nicht woher man das ahnen soll.
> Wenn ich g(4*x) = x² + 3 habe ist es doch anderas als
> wenn ich g(x) = 4*(x²+3) habe, oder? Beim ersteren wird
> nur das x vervierfacht und beim zweiteren der ganze Term.
> Wenn ich nun g(x) = 4*(x²+z+3) nehme, fällt es noch mehr
> auf.
Keins Deiner Beispiele erfüllt $g(u+v)=g(u)+g(v)$
Gegeben ist nur $g(u+v)=g(u)+g(v)$ und daraus folgt $g(nv)=n*g(v)$ weil ich $nv=(n-1)v+v$ schreiben und dann die definierende Eigenschaft $g((n-1)v+v)=g((n-1)v)+g(v)$ anwenden kann.
> >
> >
> > > /* h(u+0) = h(u) + l*0 */ <- Dies wäre die alternative
> > Das ist zwar richtig, aber sinnlos. Da steht nur
> > [mm]h(u)=h(u)[/mm]. Nur wenn Du die gegebene Eigenschaft andersrum
> > anwendest (d.h. v+0 statt u+0), kommst Du auf was
> > interessantes.
> >
> Es stand definitiv irgendein Faktor mit in der Gleichung
Ja, deswegen sollst Du ja auch mit Hilfe der Definiton von h ($h(u+v)=h(u)+lv$)
[mm]h(v)=h(v+0)=\ldots[/mm]
hinschreiben.
> Ist das quadrat da nun richtig, oder nicht?
Es steht nur unmotiviert in der Gegend rum. Der Rest dreht sich ja nur um $k(x).$
> Warum wird aus dem kleinen "k" ein großes "K"?
Schreibfehler.
> Irgendwie erkenne ich da der 2. zeile keinen zusammenhang
> mehr.
[mm] $k(nu)=k(u+u+\ldots+u)$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 04.10.2010 | | Autor: | froehli |
Um nochmal ein paar Basics zu klären.
f(x) = f(x)
f(x+y) = f(x) + f(y) ?
f(xy) = n(f(y)) oder y(f(x))
> Gegeben ist nur [mm]g(u+v)=g(u)+g(v)[/mm] und daraus folgt
> [mm]g(nv)=n*g(v)[/mm] weil ich [mm]nv=(n-1)v+v[/mm] schreiben und dann die
> definierende Eigenschaft [mm]g((n-1)v+v)=g((n-1)v)+g(v)[/mm]
> anwenden kann.
Nun folgendes:
g(nv)=n*g(v)
nv = (n-1)v + v
=> nv = nv -v +v
Aber damit komme ich nicht nach g(u+v)=g(u)+g(v) zurück, weil ich nicht weiß, wie ich aus einem +g(u) ein *n machen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 06.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Um nochmal ein paar Basics zu klären.
> f(x) = f(x)
Das ist eine Tautologie: ist immer so. Nützt Dir nichts als Voraussetzung. Ist aber schön, wenn es am Ende eines Beweises steht, falls Du zeigen sollst das zwei verschiedene Ausdrücke daselbe sind.
> f(x+y) = f(x) + f(y) ?
f(x+y) = f(x) + f(y) wurde vorausgesetzt
> f(xy) = n(f(y)) oder y(f(x))
Aus f(x+y) = f(x) + f(y) folgt f(ny) = n(f(y)), n [mm] $\in \IN$ [/mm] oder n [mm] $\in \IQ$. [/mm]
Siehe Beitrag von Blech.
Zu f(xy) = x(f(y)), x [mm] $\in \IR$ [/mm] siehe Beitrag von felixf.
>
>
> > Gegeben ist nur [mm]g(u+v)=g(u)+g(v)[/mm] und daraus folgt
> > [mm]g(nv)=n*g(v)[/mm] weil ich [mm]nv=(n-1)v+v[/mm] schreiben und dann die
> > definierende Eigenschaft [mm]g((n-1)v+v)=g((n-1)v)+g(v)[/mm]
> > anwenden kann.
> Nun folgendes:
> g(nv)=n*g(v)
> nv = (n-1)v + v
> => nv = nv -v +v
> Aber damit komme ich nicht nach g(u+v)=g(u)+g(v) zurück,
> weil ich nicht weiß, wie ich aus einem +g(u) ein *n machen
> soll.
Ging es nicht um die andere Richtung?
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 06.10.2010 | | Autor: | froehli |
> Aus f(x+y) = f(x) + f(y) folgt f(ny) = n(f(y)), n [mm]\in \IN[/mm]
> oder n [mm]\in \IQ[/mm].
Meine Frage war ob f(ny) = n(f(y)) das gleiche ist wie y(f(n)), da ich die umformung nicht verstehe, bzw nicht erkenne, warum das eine aus dem anderen folgt.
> Ging es nicht um die andere Richtung?
Ich versuche nur zu verstehen, welche umformungsregeln dort angewendet worden sind.
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Hallo froehli,
jetzt wirfst Du etwas durcheinander:
> > Aus f(x+y) = f(x) + f(y) folgt f(ny) = n(f(y)), n [mm]\in \IN[/mm]
> > oder n [mm]\in \IQ[/mm].
So war's richtig.
> Meine Frage war ob f(ny) = n(f(y)) das gleiche ist wie
> y(f(n)), da ich die umformung nicht verstehe, bzw nicht
> erkenne, warum das eine aus dem anderen folgt.
Was besagt denn die Notation y(f(n))?
Hier geht es doch darum, sozusagen aus der Addition die Multiplikation zu folgern (und dann noch über [mm] \IN [/mm] hinaus zu verallgemeinern).
Erst einmal gilt ja für die gegebene Funktion (und sonst eher nicht!) z.B. dies:
$ f(4x)=f(3x+x)=f(3x)+f(x)=f(2x)+f(x)+f(x)=f(x)+f(x)+f(x)+f(x)=4f(x) $
Das ist der Weg, auf dem dann auch gefolgert wird: $ f(n*y)=n*f(y) $.
> > Ging es nicht um die andere Richtung?
> Ich versuche nur zu verstehen, welche umformungsregeln
> dort angewendet worden sind.
Jetzt klarer?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 16.10.2010 | | Autor: | froehli |
Ich versuche mir das ganze durch Zahlen mal greifbarer zu machen.
Wenn ich f(x) = [mm] 2x^2 [/mm] +3x nehme
Und ich setzte 2x ein.
Dann habe ich:
f(2x) = [mm] 4x^2+6x
[/mm]
wenn ich nun
f(x) nehme lande ich wieder bei:
f(x) = [mm] 2x^2+3x
[/mm]
[mm] 2*(2x^2+3x) [/mm] = f(2x)
Habe ich jetzt aber f(x) = [mm] 2x^2+3
[/mm]
f(2x) = [mm] 4x^2+3
[/mm]
f(x) = [mm] 2x^2+3
[/mm]
[mm] 2(2x^2+3) \not= [/mm] f(2x)
Heißt das, diese Form der Umformung funktioniert nur bei gleichungen ohne koeffizienten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 16.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Ich versuche mir das ganze durch Zahlen mal greifbarer zu
> machen.
>
> Wenn ich f(x) = [mm]2x^2[/mm] +3x nehme
>
> Und ich setzte 2x ein.
> Dann habe ich:
> f(2x) = [mm]4x^2+6x[/mm]
Nein [mm] f(2x)\ne4x^{2}+6x. [/mm]
>
> Heißt das, diese Form der Umformung funktioniert nur bei
> gleichungen ohne koeffizienten?
Nein, das heisst, dass diese Umformungen an eine Funktion als Voraussetzung gestellt werden. Also bei 1.
Wir fordern
g(u+v) = g(u) + g(v)
Daraus folgt
g(u+0) = g(u) + g(0) => g(0) = 0
g(n*v) = n*g(u)
Und das erfüllt nurf(x)=x
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 04.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan,
> Und für Bonuspunkte dann die Begründung, warum deswegen
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] (bzw. zuerst mal in [mm]\IQ[/mm]) gilt
> [mm]g(xv)=x*g(v)[/mm]
wenn man an das Auswahlaxiom glaubt, ist es fuer alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] im Allgemeinen falsch.
Die Abbildung ist [mm] $\IQ$-linear, [/mm] aber deswegen nicht automatisch [mm] $\IR$-linear [/mm] -- es sei denn man nimmt an, sie ist stetig.
LG Felix
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