hauptsatz diff/int rechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 20.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe leider an dem Lernpfad noch ein Problem beim Beweis des Haupsatzes der Diff und Integral Rechnung
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=864
die Umformung ist nun Gelungen aber dann schreibt der autor, dass
"Wir versuchen, weiter umzuformen. Ist die Funktion f stetig, hat sie also einen durchgehenden Graphen, so ist das Integral [mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx} [/mm] so groß wie ein geeignetes Rechteck mit den Seitenlängen f(z) und h. Es gilt also:
[mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx}=f(z)*h, [/mm] wobei x<=z<=x+h
dabei verstehe ich nicht, wie eine "geeignetes" Rechteck sich an einen geschwungenen Graph heranschmiegen soll, das Rechteck muss doch entweder zu groß oder zu klein sein.. weshalb muss daher f(z) * h = Integral gelten?? f(z) bezeichnet doch die Höhe des Rechtecks oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ja, f(z) bezeichnet die Höhe des Rechtecks.
Du integrierst ja f zwischen x und x+h, d.h. Du bestimmst den Flächeninhalt, den f mit der x-Achse zwischen x und x+h einschließt.
Deine Rechtecksbreite ist somit durch h festgelegt.
Wählst Du für die Rechteckshöhe nun das Maximum (Max), das f zwischen x und x+h annimmt (da f stetig), ist das Rechteck größer als das Integral (oder gleich, falls f konstant ist).
Wählst Du als Rechteckshöhe das Minimum (Min), das f zwischen x und x+h annimmt (da f stetig), ist das Rechteck kleiner als das Integral (oder gleich, falls f konstant ist).
Es muss daher einen Wert [mm] y_{0} [/mm] zwischen Min und Max geben, für den das Rechteck den gleichen Flächeninhalt hat, da f stetig ist.
f nimmt außerdem jeden Wert zwischen Min und Max an, d.h. es existiert ein [mm] x_{0} [/mm] zwischen den Urbildern von Min und Max mit [mm] f(x_{0})=y_{0}.
[/mm]
Da die Urbilder von Min und Max zwischen x und x+h liegen, liegt [mm] x_{0} [/mm] auch dazwischen.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 20.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
das bedeutet, dass es ein Rechteck geben soll, dass den Gleichen Flächeninhalt wie das Integral hat?? ein einzelnes?? das ist doch eigentlich unmöglich wenn f nicht konstant ist sondern z.B. ne parabel oder ?? oder hab ich was flasch verstanden..gibt es vllt nen anderen Beweis??
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Hallo noobo!
Ich schreibe jetzt bewusst keine Antwort auf deine Frage, sondern nur eine Mitteilung weil ich auch keinen anderen Beweis kenne als den oben angeführten.
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet ja: Ist f(x) eine im Intervall [a;b] stetige und differenzierbare Funktion, dann existiert zwischen a und b mindestens eine c Stelle, für die gilt:
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
[/mm]
D.h es muss zwschen a und b mindstens einen Punkt c geben, dessen Steigung gleich der mittleren Steigung im Intervall [a;b] ist. Wenn ich es richtig vestanden habe sollte das doch in deinem beispiel f(z) sein, oder?
Gruß
Angelika
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Hi,
vielleicht um etwas Klarheit zu bringen:
Ja, es gibt ein Rechteck, welches die gleiche Breite hat wie das Intervall und insgesamt den gleichen Flächeninhalt wie die Fläche unterhalb der Kurve in dem Intervall. Das heißt aber [mm] \red{nicht}, [/mm] dass sich das Rechteck irgendwie an den Graphen anschmiegt. Der Graph kann irgendwie quer durch das Rechteck verlaufen!!
Betrachte z.B. die Normalparabel [mm] x^2. [/mm] Es gilt [mm] \integral_{0}^{2}{x^2 dx} [/mm] =8/3. Und natürlich gibt es auch ein Rechteck welches die Breite 2 (die Länge des Intervalls) und insgesamt den gleichen Flächeninhalt hat.
Kannst dir ja mal eine Skizze malen.
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 20.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also jetzt mit Bezug auf die Mitteilung. Sagt dieser Mittelwertssatz also aus, dass es im Intervall [ x; x+h] einen Punkt gibt der die Gleiche Steigung hat wie die sekante die durch x und x+h geht und dass die y koordinate dieses Punktes f(z) ist ..?
wenn ja wie kann ich mir dann das Rechteck unter dem Graph vorstellen die beziehungsweise kann man das überhaupt zeichnen?? gibt es also theoretisch ein Rechteck, dass sie perfekt in eine Kurve einpasst??
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Stell' dir einfach einmal eine Dose mit Butter vor,
aus der schon jemand Butter entnommen hat.
Du möchtest die Dose wieder auf den Tisch stellen,
aber etwas ansehnlicher. Was machst du? Du nimmst ein
Messer und streichst die Butter wieder schön glatt !
Gleich viel Butter, aber ebene Oberfläche.
Und nun machst du genau dasselbe (in einer Dimension
weniger) mit dem Flächeninhalt eines oben krummen
Streifens: du machst ihn zum Rechteck mit gleicher Fläche !
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 20.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
okay jetzt ist es anschaulich geworden, dass rechteck muss sich nicht an den graph anschmiegen.
Jetzt ist mir jedoch der Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung nicht komplett eingängig. Ich verstehe was er aussagt aber nicht den Beweis bei wikipedia. Der Satz von Rolle ist ja eigentlich nur ein Sonderfall davon.
Aber wie kommt man auf das Aufstellen der Hilfsfunktion
h(x)= f(x)- [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)
[/mm]
und vor allem wo ist den das x in der wikipedia skizze?
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
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Hallo noobo,
ja du hast erstmal recht, der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes, allerdings ist dieser wesentlich einfacher zu beweisen und die Grundlage für den allgemeinen Fall.
Um das aufstellen der Hilfsfunktion zu verstehen, muss man die Idee hinter dem Beweis kennen.
Wie in der Grafik bei Wikipedia ja schön zu sehen, gilt im allgemeinen [mm]f(a) \not= f(b)[/mm] (im Fall bei Wikipedia ist [mm]f(a) <\text{ }f(b)[/mm]).
Die Idee ist nun also, sich eine Hilfsfunktion zu definieren, auf denen man den Satz von Rolle anwenden kann.
Man "klappt" die Funktion also so weit um, dass anschaulich [mm]f(a) =\text{ }f(b)[/mm] gilt.
Dies erreicht man aber gerade eben dadurch, dass man mit steigendem x auch immer etwas mehr abzieht.
An der Stelle a will man gar nix abziehen und an b gerade die Differenz zwischen f(b) und f(a) (also f(b) - f(a))
Dies leistet gerade die Funktion:
[mm]\bruch{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)[/mm]
Somit ergibt sich als Hilfsfunktion:
[mm]h(x) = f(x) - \bruch{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)[/mm]
Worauf man dann den Satz von Rolle anwenden kann (und durch Umstellen aufs gewünsche Ergebnis kommt).
Das x im hinteren Therm kann man übrigens nicht einzeichnen, das ist das gleiche wie im f(x).
Ich hoffe das war anschaulich genug erklärt 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 20.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja danke das war sehr anschaulich. Jetzt nochmal im Bezug zur vorherigen Antwort, wo man mir den Ratschlag gab es aufzuzeichnen. Ich habe das mal an f(x) = [mm] x^2 [/mm] ausprobiert also ich hab halt zwei punkte genommen (0/0) und (9/3) und habe folgendermaßen das Intergal berechnet:
[mm] \integral_{0}^{3}{x^2 dx} [/mm] = 9
jetzt muss es doch einen Punkt im Prinzip diesen schon vorhind beschriebenen Punkt f(z) geben. Die Sekante durch die beiden Punkte hat die Gleichung f(x)= 3x und [mm] x^2 [/mm] hat die Steigung 3 an der Stelle x= [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
aber wie kann ich denn dann mit diesem Wert nun ein Rechteck bilden, dass den gleichen Flächeninhalt und die gleiche Breite hat ?? Um auf einen Flächeninhalt von 9 zu kommen, bei einer vorgeschriebenen Breite von 3 muss die Länge ja auch drei sein und nicht wie ich es herausbekommen hab (3/2)
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Hallo Noboo!
Du müsstest, wie ich im nächsten Beitrag schreibe, die mittlere Steigung der Flächenfunktion ermitteln.(Schau dir unbedingt nochmal meine nächste Antwort an, ich hab sie überarbeitet)
Entschuldigung, wenn ich bei dir für Verwirrung gesorgt habe.
Um in diesem Fall die x-Koordinate für f(z) zu berechnen müsstest du bloß diese Gleichung lösen: 3 = [mm] x^2
[/mm]
Wie du ja sicher bereits verstanden hast ist die Integrandenfunktion die Ableitungsfunktion der Flächenfunktion(Stammfunktion).
Umgekehrt erhält man durch die Berechnung des unbestimmten Integrals die Flächenfunktion.
Z.B [mm] \integral{4 dx} [/mm] ist die Ableitung der Flächenfunktion 4x+C . (Indem du den Integranden beobachtest kannst du in diesem Fall auch ablesen, dass die Steigung der Flächenfunktion konstant ist.)
Dies sind die wesenlichen Aussagen des Hauptsatzes.
Natürlich könntest du den Flächeninhalt auch näherungsweise bestimmen. Dieses Verfahren spielt bei der numerischen Integration eine große Rolle:
Dazu Teilst du das Intervall [x:x+h] in Teilintervalle [mm] ([x_0;x_1] [x_1;x_2]...[x_n_-_1;x_n]) [/mm] ein und versuchst den Flächeninhalt der einzelnen Steifen zu bestimmen.
Bezeichnet [mm] \Delta(x_i) [/mm] = [mm] x_n_-_1-x_n [/mm] die Differenz zweier benachbarter Punkte so lässt sich der Inhalt der Streifenfläche abschätzen durch indem du die Ober und Untersummen bildest. Je kleiner du die Streifenbreit wählst, desto genauer nähern sich Ober u. Untersumme einem Wert.
Im Grenzfall, wenn [mm] \Delta(x) [/mm] gegen Null geht werden Ober und Untersumme gleich un du has den Flächeninhalt.
Für dein Beispiel:
[mm] \Delta(x) [/mm] =1
[mm] x^2*\Delta(x)
[/mm]
Untersumme:
S = [mm] 1^2*1+2^2*1=5
[/mm]
Obersumme:
S= [mm] 2^2*1+3^2*1=13
[/mm]
Du müsstest noch viel die geringere Streifenbreite wählen um eine ungefähren Näherungswert zu erhalten. Bis jetzt weiß du lediglich, dass der gesuchte Flächeninhalt zwischen 5 und 13 liegt.
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 21.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also so sieht meine Zeichnung aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe jetzt gedacht, dass ich mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung den Punkt z von f(z) ausrechnen kann also dann f(z) ausrechnen kann.
Ich habe das Integral berechnet [mm] \integral_{0}^{9}{x^2 dx} [/mm] = 9
und habe dann halt eine solche Sekante gewählt die durch (0/0) und (9/3) geht, da dass ja auch mein gesamtes Intervall ist. Die Sekante hat die Gleichung y= 3x somit muss es ja einen Punkt geben der die Steigung 3 hat den gibt es auch [mm] f'(x^2)= [/mm] 2x also (3/2) = x aber das kann nicht z sein, da ich um ein Rechteck wie in der Zeichnung zu bilden, dass die gleiche Länge also h hat h=3 ein f(z) = 3 ebnötige, damit ich am ende auf 3*3 = 9 komme
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> hallo,
> also so sieht meine Zeichnung aus
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ich habe jetzt gedacht, dass ich mit dem Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung den Punkt z von f(z) ausrechnen kann
> also dann f(z) ausrechnen kann.
> Ich habe das Integral berechnet [mm]\integral_{0}^{9}{x^2 dx}[/mm]
> = 9
> und habe dann halt eine solche Sekante gewählt die durch
> (0/0) und (9/3) geht, da dass ja auch mein gesamtes
> Intervall ist. Die Sekante hat die Gleichung y= 3x somit
> muss es ja einen Punkt geben der die Steigung 3 hat den
> gibt es auch [mm]f'(x^2)=[/mm] 2x also (3/2) = x aber das kann
> nicht z sein, da ich um ein Rechteck wie in der Zeichnung
> zu bilden, dass die gleiche Länge also h hat h=3 ein f(z) =
> 3 benötige, damit ich am ende auf 3*3 = 9 komme.
In dieser schönen Grafik illustrierst du eigentlich den Mittelwertsatz
gleich auf 2 Stufen: einmal für die Funktion f(x) = [mm] x^2
[/mm]
und dann auch noch für die Funktion [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}f(x)\dx
[/mm]
Nennen wir die beiden z-Werte [mm] z_f [/mm] und [mm] z_F [/mm] .
Für [mm] z_f [/mm] gilt:
[mm] f'(z_f)=\bruch{f(3)-f(0)}{3-0}
[/mm]
Dies bedeutet:
die eingezeichnete Tangente hat die gleiche Steigung
wie die eingezeichnete Sekante
Für [mm] z_F [/mm] gilt:
[mm] F'(z_F)=\bruch{F(3)-F(0)}{3-0} [/mm] , und dies ist gleich [mm] f(z_F), [/mm] weil
ja F Stammfunktion von f ist.
Letztere Gleichung kann man auch schreiben als:
[mm] F'(z_F)*(3-0)=f(z_F)*(3-0)=F(3)-F(0)
[/mm]
also: Höhe*Breite=Fläche des eingezeichneten Rechtecks
gleich Fläche des schraffierten Gebietes unter der Kurve y=f(x)
Offensichtlich ist aber (jedenfalls in diesem Beispiel) [mm] z_F \not= z_f [/mm] !
[mm] z_f [/mm] entspricht dem x-Wert des markierten Tangentenberührungs-
Punktes, [mm] z_F [/mm] entspricht der x-Koordinate des Schnittpunktes
des Graphen von f (rot) mit dem oberen Rechtecksrand.
Nach der "Buttermethode" aus meinem früheren Beitrag könntest
du also den über das Rechteck hinausragenden Teil der schraffierten
Fläche genau in dessen bisher noch frei gebliebenen Teil
"hineinbuttern"...
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 21.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich habe jetzt hier nochmal das ganze auch von der Quelle übernommen:
http://img3.imagebanana.com/img/h5bya17h/d.JPG
also so steht es auf der Seite und diesen "idealen" f(z) Wert, der die Höhe des Rechtecks mit dem Gleichen Flächeninhalt und der gleichen Breite wie das Integral [mm] \integral_{x}^{x+h}{f(x) dx} [/mm] angibt. Dieser Wert f(z) ist doch druch den Mittelwertsatz berechenbar oder??
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Hallo Noobo!
Du müsstest ja die Stelle [mm] x_0 [/mm] berechnen, an der die Flächenfunktion diese mittlere Steigung besitzt, nicht die Integrandenfunktion. Die mittlere Steigung von [mm] \integral{ x^2 dx}=\bruch{x^3}{3}+C [/mm] im Intervall [0;3] ist doch 3. Also müsstest du den Punkt finden an dem die Ableitung der Flächenfunktion [mm] x^2 [/mm] den Anstieg drei besitzt. Das wäre an der Stelle [mm] \wurzel{3}. [/mm] Ermittelst du für diese Stelle jetzt den Funktionswert [mm] f(x_0) [/mm] kommst du ja auf 3.Also d(z). Die ganze Sache hat also trotzdem was mit dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung zu tun, du musst ihn nur auf die Flächenfunktion beziehen.
Sondern in deinem Fall, da du ja schon weißt das der Flächeninhalt 9 ist und das Integrationsintervall=3, ist die x Koordinate von d(z) doch durch die Gleichung [mm] 3=x^2 [/mm] berechenbar.
Weiters gibt es einen Mittelwertsatz der Integralrechnung, mit dessen Hilfe du näherungsweise die Werte von bestimmten Integralen berechnen kannst.
Z.B.
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{5-x}{9-x^2} dx}
[/mm]
Dazu untersuchst du die Integrandenfunktion auf Maxima und Minima im Intervall [0;2]
In diesem Fall liegt das Minimum bei f(1)=0,5 das Maximum bei f(2) = 0,6
Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt:
[mm] 0,5(2-0)\le \integral_{0}^{2}{\bruch{5-x}{9-x^2} dx}\le [/mm] 0,6(2-0)
Also weißt du, der Wert des Integrals liegt zwischen 1 und 1,2
Wenn du die Stammfunktion durch Partialbruchzerlegung bildest, und den Wert des Integral berechnest kommst du auf 1,047.
Wichtig: Der Mittelwertsatz sagt nichts genaues um f(z) aus, sondern lediglich das [mm] 0,5\le f(z)\le0,6 [/mm] , also sagt er auch nichts über den genauen Flächeninhalt des bestimmten Integrals aus.
Genau dasselbe wurde schon in der 1. Antwort gesagt, wo statt f(z) von [mm] y_0 [/mm] die Rede war.
Hoffe ich konnte dir nun helfen!
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 21.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also hat es nichts mit dem mittelwerssatz zu tun.
laut der Quelle ist die Breite ja vom Intervall des Integrals vorgeschrieben und ist 3 da das intervall ja von 0 bis 3 geht.
Der Wert des Intervalls von 0 bis 3 von [mm] x^2 [/mm] = 9
also A= a*b
9=3*a
3= a
3 ist also = f(z) oder?? stimmt den somit meine Zeichnung??
der Beweis geht ja nun jedoch weiter und man schaut was passiert wenn [mm] \limes_{h\rightarrow\\0}
[/mm]
und dann fällt ja irgendwann f(z) mit dem PUNKT f(x) zusammen
so wird es zumindest hier beschrieben
http://img3.imagebanana.com/img/8vvg9vu2/gh.JPG
Doch meine Frage nun. Eigentlich streben ja nur zwei Punkte gegeneinander nämlich f(z) gegen f(x) wobei f(x) ja aber keine Funktion ist sondern eigentlich nur der Funktionswert von x so ist es zumindest in der Skizze des Authors ( http://img3.imagebanana.com/img/h5bya17h/d.JPG ) aufgezeichnet. Am ende wir aber behauptet, dass f(z) = f(x) ist und es sidn damit nun beide Funktionen gemeint f(z) die Integralfunktion und f(x) die Integrandfunktion ..was habe ich daran falsch verstanden?
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Hallo Noobo!
Ja, in deinem Fall enspricht 3=f(z) da 3*3=9.
Schau dir nochmal meinen obigen Beitrag an. f(z) kannst du mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung näherungsweise berechnen.
Im ersten Beitrag wurde gesagt das [mm] y_0 [/mm] irgendwo zwischen den Urbild des maximalen Integrandenfunktionswertes des Integrationsintervalls und jenem des minimalen Integrandenfunktionswertes des Integrationsintervalls liegt. Das Integrationsintervall multipliziert mit [mm] y_0 [/mm] sollte genau dem Wert des bestimmten Integrals entsprechen.
Wenn du mit dem maximalen Funktioswert multiplizierst wird der Flächeninhalt des so entstehenden Rechtecks ja größer dem Wert des bestimmten Integrals(bei konstaten Integranden gleich dem bestimmten Integral) und sonst umgekehrt.
Voraussetzung ist natürlich die Stetigkeit im Integrationsintervall.
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 21.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
vielen Dank für die viele Mühe das ist jetzt klar geworden. Leider wurde aber glaub ich wurde mein zweiter absatz ein bisschen übersehen kann mir da jemand helfen??
"der Beweis geht ja nun jedoch weiter und man schaut was passiert wenn [mm] \limes_{h\rightarrow\\0}
[/mm]
und dann fällt ja irgendwann f(z), dass ja selbst auf dem Graph von f(x) liegt mit dem PUNKT f(x) zusammen
so wird es zumindest hier beschrieben
http://img3.imagebanana.com/img/8vvg9vu2/gh.JPG
Doch meine Frage nun. Eigentlich streben ja nur zwei Punkte gegeneinander nämlich f(z) gegen f(x) wobei f(x) ja aber keine Funktion ist sondern eigentlich nur der Funktionswert von x so ist es zumindest in der Skizze des Authors ( http://img3.imagebanana.com/img/h5bya17h/d.JPG ) aufgezeichnet. Am ende wird aber behauptet, dass f(z) = f(x) ist und es sind damit auf einmal Funktionen gemeint f(z) die Integralfunktion und f(x) die Integrandfunktion das ist irgendwie verwirrend"
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Hallo Noobo!
Ich möchte dir noch eine letzte Antwort schreiben, da es ja sonst niemand tut, obwohl die meisten sich ja sicher besser auskennen wie ich(Habe dieses Thema auch erst gerade angefangen). Eine Frage werde ich offen lassen, für den Fall, dass jemand anders noch seine Verbesserungen anbringen will.
Vielleicht ist es dein Problem, dass du dir dein eingezeichnetes f(x) zusehr als Graph vorstellst.
Stell dir mal f(x) als [mm] f(x_0) [/mm] vor, also als Funktionswert von f(x) an der Stelle x also [mm] (x_0).
[/mm]
Du willst die Flächenfunktion(Fläche zwischen x-Achse und Graph von f(x) ) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ableiten.
Also gehst du wie bei einer "normalen" Funktion vor du ermittelst den Grenzübergang von der Sekantenfolge zur Tangente, vom Differenzenquotientenfolge zum Differenzialquotienten.
Was passiert im Fall wenn du diesen Grenzwert ermittelst:
[mm] x-x_0=h
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}\bruch{F_A(x)-F_A(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
oder anders ausgedrückt:
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{F_A(x+h)-F_A(x)}{h}
[/mm]
Also geht nicht nur [mm] x_0+h [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] sondern auch [mm] f(x_0+h) [/mm] gegen [mm] f(x_0).
[/mm]
Daraus folgt ja, dass auch der Flächeninhalt zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h [/mm] immer kleiner wird, das wiederum ist die Ursache, dass sich unser Maßstab für den hinzugekommenen Flächeninhalt [mm]f(z)*h[/mm] verändern muss. h wird doch kleiner und geht gegen 0, also muss auch f(z) gegen [mm] f(x_0) [/mm] gehen.(Im Grenzfall gilt [mm] f(z)=f(x_0)) [/mm] So wird der hinzugekommene Flächeninhalt [mm] 0*f(x_0)=0.
[/mm]
Und du hast die Ableitung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] was in diesem Fall [mm] f(x_0) [/mm] entspricht.
z entspricht einer x-Koordinate, und f(z) dem Funktionswert von f(x) an der Stelle z. Ich glaube der Buchstabe z wird hier nur verwendet, um auf die besondere Aufgabe dieser f(x)-Koordinate als Zwischenwert hinzuweisen, der so gewählt wird, dass der Inhalt des Rechtecks f(z)*h gleich dem durch f(x) begrenzten Flächenstück zeischen x und x+h ist. f(z) Ist keinesfalls eine eigenstängige Funktion.
Auch wenn du bei einer herkömmlichen Funktion der Differenzialquotient bildest, wird der Abstand zwischen den Sekantenpunkten [mm] [x;x_0] [/mm] immer kleiner, ( [mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0} [/mm] oder [mm] \limes_{h\rightarrow\(0}). [/mm] In gleicher Weise wird bei einer Flächenfunktion die Fläche [f(z)*h] immer kleiner bis h im Grenzfall Null wird.
Man kann auch bei herkömmlichen Funktionen beobachten, dass je kleiner das Intervall [mm] [x-x_0]=h [/mm] wird desto ganauer nähert sich der Betrag der Sekantensteigung an den der Tangentensteigung an.
Auch für die Flächenfunktion gilt je kleiner h, desto genauer nähert sich f(z) an [mm] f(x_0) [/mm] an.
So gesehen entspricht f(z) der Sekantensteigung(Differenzenquotient), [mm] f(x_0) [/mm] der Tangentensteigung(Differenzialquotient), denn je kleiner h, desto weiter nähert sich f(z) an [mm] f(x_0). [/mm]
Denn was wir wissen wollen, ist ja die Steigung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0. [/mm] Und f(z) ist nicht die Steigung der Flächenfunktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] sondern entspricht, analog der Sekantensteigung, der mittleren Steigung der Flächenfunktion im Intervall [x;x+h].
Ich denke es ist sehr schwer sich den Flächeninhalt unter einem Graphen als Funktion vorzustellen, ich denke es heißt fast die Sicht von Funktionen um eine Dimension zu erweitern. Vielleicht ist das dein Problem?
Wie ich dir schon gesagt habe, kannst du [mm] F_A(x)
[/mm]
ja an jeder beliebigen [mm] x_0 [/mm] Stelle ableiten, jedoch wird diese Ableitung immer dem Funktionswert der Ableitungsfunktion f(x) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] entsprechen.
P.S Schau unbedingt nochmal meine vorigen Antworten zum Thema der Beziehung vom Hauptsatz zum Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ich hab sie nochmal überarbeitet.
Gruß
Angelika
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Hallo Noobo!
Hab nicht gesehen dass du bei deiner Frage noch einen 2. Teil dazugeschrieben hast. Sorry!
Eigentlich geht es beim Beiweis ja um die Ableitung der [mm] FlächenfunktionF_a(x):
[/mm]
Es gilt:
[mm] F_A(x)= \integral_{a}^{x}{f(x) dx}
[/mm]
Geht man von x ein Stück (h) in positiver x Richtung, so gilt:
[mm] F_A(x+h)=\integral_{a}^{x+h}{f(x) dx}
[/mm]
Die hinzugekommene Fläche lässt sich ausdrücken durch:
[mm]F_A(x+h)-F_A(x)= f(z)*h[/mm]
So erhälst du:
f(z) = [mm] \bruch{F_A(x+h)-F_A(x)}{h}
[/mm]
Führst du den Grenzübergang h gegen 0 durch erhälst du die Ableitungsfunktion der Flächenfunktion, also:
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{F_A(x+h)-F_A(x)}{h}=F'_A(x)=f(x)
[/mm]
Da h gegen 0 geht, folgt f(z) geht gegen f(x), dass siehst du doch oder?
Der Punkt [mm] f(x_0) [/mm] ist also die Ableitung der Flächenfunktion, an der Stelle [mm] x_0.
[/mm]
Das heißt f(x) ist die Ableitungsfunktion von [mm] F_A(x).
[/mm]
Allgemein: Die Ableitung der Flächenfunktion = der Integrandenfunktion.
Daraus folgt, dass man die Flächenfunktion durch Berechnung des unbestimmten Integrals erlangt.
Wichtig wäre noch zu sagen, dass es sich bei z um einen Zwischenwert handelt, der so gewählt wird, dass der Inhalt des Rechtecks f(z)*h gleich dem durch f(x) begrenzten Flächenstück zwischen x und x+h ist.
f(z) ist also bloß die y-Koordinate des Punktes z ist die x-Koordinate.
Es handelt sich aber um keine eigenständige Funktion: [z;f(z)] liegt doch auf dem Graphen f(x).
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 21.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke schön...^^
hier muss ich nochmal kurz nachhaken
"Da h gegen 0 geht, folgt f(z) geht gegen f(x), dass siehst du doch oder?
Der Punkt $ [mm] f(x_0) [/mm] $ ist also die Ableitung der Flächenfunktion, an der Stelle $ [mm] x_0. [/mm] $
Das heißt f(x) ist die Ableitungsfunktion von $ [mm] F_A(x). [/mm] $"
ist [mm] x_o [/mm] das normale x in der zeichnung??
heißt dass dass die Ableitugn in Puntk z gesucht ist oder??
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Hallo!
ich habe nur gemeint, dass f(x) die allg. Ableitunsfunktion ist für die du dann an jeder beliebigen Stelle [mm] x_0 [/mm] die Ableitung berechnen kannst.
Wenn du weißt, dass [mm] x^2 [/mm] die Ableitungsfunktion von [mm] \bruch{x^3}{3}+C =\integral{x^2 dx}=F_A(x) [/mm] ist, kannst du doch an jeder beliebigen Stelle [mm] x_0 [/mm] ableiten. Und immer entsprechen die Werte [mm] f(x_0).
[/mm]
Z.B
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{\bruch{(3+h)^3}{3}-\bruch{27}{3}}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{\bruch{27h+9h^2+h^3}{3}}{h} [/mm] kürzen ergibt:
[mm] \limes_{h\rightarrow\(0}\bruch{27+9h+h^2}{3}
[/mm]
Als Ergebniss erhälst du schließlich 9.
Mit Ableitungsregeln: [mm] f'(x)=x^2 f'(3)=3^2=9
[/mm]
Du kannst dir für x auch [mm] x_0 [/mm] vorstellen. Das ändert aber nichts daran das f(x) die allg. Ableitungsfunktion ist. Das heißt egal an welcher Stelle [mm] x_0 [/mm] du [mm] F_A(x) [/mm] ableitest, immer wird [mm] f(x_0) [/mm] dieser Ableitung entsprechen.
In meinem obigen(vorige Antwort) Beispiel siehst du doch das an der Stelle x abgeleitet wird, das heißt du setzt statt x keinen konkreten Wert [mm] x_0 [/mm] ein, und erhälst so die allg. Ableitungsfunktion, wo du nächträglich für jede beliebige Stelle [mm] x_o [/mm] die Ableitung ermitteln kannst.
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 So 22.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
-bitte löschen gehört nicht mehr zum Thema-
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 22.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
-bitte lösche-
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