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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 20.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle harmonischen Polynome in einer Variable, d.h. alle harmonischen
Funktionen [mm] \IR\to\IR [/mm] der Form
x [mm] \mapsto \summe_{i=0}^{n}a_k*x^k
[/mm]
mit [mm] a_k\in\IR, [/mm] k = 0, . . . , n.
eine funktion ist hierbei harmonisch, wenn [mm] \Delta [/mm] f = 0 [mm] (\Delta [/mm] ist der Laplace opertor) |
(Frage zuvor nicht gestellt)
hey leute, habe das hier etwas konfus ausgerechnet und rausbekommen, dass alle konstanten polynome harmonisch sind.
kann dies einer bestätigen? wenn ja, schreibe ich hier mal die lösung hin und wenn ihr lust habt, könnt ihr ja ein par sachen verbesser :)
danke und gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Hallo AriR,
ich meine doch, dass auch alle Polynome vom 1. Grad harmonisch sind, denn [mm] \Delta [/mm] ax=0.
Also sind doch genau alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 1 harmonisch
in jeden fall hast du mit deiner Aussage recht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
noch mal Hallo,
ich will mal einen Beweis versuchen:
[mm] \Delta [/mm] f = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} i(i-1)a_{i}x^{i-2}=0 \gdw [/mm] i=0 [mm] \vee [/mm] (i-1)=0 [mm] \vee a_{i}x^{i-2}=0
[/mm]
f ist Polynom 0. Grades => f harmonisch, weil i=0
f ist ein Polynom 1. Grades => i-1=0 => f harmonisch
f ist ein Polynom mit Grad > 1 => i [mm] \not=0 [/mm] , i-1 [mm] \not=0 [/mm] , [mm] a_{i}x^{i-2}\not=0 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 20.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo genau so hab ich das auch, nur das ich vergessen habe den fall für (k-1) noch mit hinzuzunehmen..
vielen dank :)
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