harmonische Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 So 04.05.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Gegeben seinen eine offene Menge U [mm] \in \IC [/mm] und eine Funktion
f: U [mm] \to \IC \wedge [/mm] z=(x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(z):= u(x,y)+i*v(x,y) mit
u,v [mm] \in \IC^2(U). [/mm] Beweisen Sie die Implikation:
Wenn f eine holomorphe Funktion ist, dann sind u und v harmonische Funktionen. |
Hallo,
mir fehlt bei dem Beweis noch die Idee wie man das in Formeln umsetzen kann. Inhaltlich hängt es noch an einer Stelle.
Wenn f eine holomorphe Funktion ist, dann ist sie also komplex differenzierbar, d.h.der Grenzwert für h gegen null existiert für jeden beliebigen Punkt z von f und ist gerade die Ableitung im Punkt z. Nun soll ich zeigen, dass daraus folgt, dass die Summe aller (reinen) zweiten Ableitungen von u und v null ist, also
[mm] \Delta [/mm] u(x,y)=0 und [mm] \Delta [/mm] v(x,y)=0. Aber wieso ist das denn immer so? Ganz unabhängig von der Funktion f, hauptsache holomorph??? Wie kann ich mir aus der Eigenschaft, dass f holomorph ist eine Formel ableiten mit der ich zeige [mm] \Delta [/mm] u(x,y)=0 und [mm] \Delta [/mm] v(x,y)=0?
Würde mich über einen Ansatz/Idee freuen.
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben seinen eine offene Menge U [mm]\in \IC[/mm] und eine
> Funktion
> f: U [mm]\to \IC \wedge[/mm] z=(x,y) [mm]\mapsto[/mm] f(z):= u(x,y)+i*v(x,y)
> mit
> u,v [mm]\in \IC^2(U).[/mm] Beweisen Sie die Implikation:
> Wenn f eine holomorphe Funktion ist, dann sind u und v
> harmonische Funktionen.
> Hallo,
>
> mir fehlt bei dem Beweis noch die Idee wie man das in
> Formeln umsetzen kann. Inhaltlich hängt es noch an einer
> Stelle.
> Wenn f eine holomorphe Funktion ist, dann ist sie also
> komplex differenzierbar, d.h.der Grenzwert für h gegen null
> existiert für jeden beliebigen Punkt z von f und ist gerade
> die Ableitung im Punkt z. Nun soll ich zeigen, dass daraus
> folgt, dass die Summe aller (reinen) zweiten Ableitungen
> von u und v null ist, also
> [mm]\Delta[/mm] u(x,y)=0 und [mm]\Delta[/mm] v(x,y)=0. Aber wieso ist das
> denn immer so? Ganz unabhängig von der Funktion f,
> hauptsache holomorph??? Wie kann ich mir aus der
> Eigenschaft, dass f holomorph ist eine Formel ableiten mit
> der ich zeige [mm]\Delta[/mm] u(x,y)=0 und [mm]\Delta[/mm] v(x,y)=0?
Wenn f holomorph ist, so erfüllen u und v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Schreib dir die mal hin! Was fällt dir auf?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 04.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich habe jetzt dazu gerade ein bisschen gelesen und auch in unserem Skript einen passenden Satz gefunden (von dem ich gar nicht wusste, dass wir ihn schon hatten  ).
Nach diesem gilt für unsere Funktion f eine der beiden (gleichwertigen) Bedingungen:
[mm] f_{x}=-i*f_{y} [/mm] oder [mm] u_{x}=v_{y}, u_{y}=-v_{x}.
[/mm]
So richtig hilft mir das irgendwie noch nicht weiter, weil ich will doch zeigen, dass [mm] u_{xx}+u_{yy}=0 [/mm] und [mm] v_{xx}+v_{yy}=0. [/mm] Was helfen mir denn da diese Aussage, die u und v in einen Zusammenhang bringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe jetzt dazu gerade ein bisschen gelesen und auch in
> unserem Skript einen passenden Satz gefunden (von dem ich
> gar nicht wusste, dass wir ihn schon hatten ).
>
> Nach diesem gilt für unsere Funktion f eine der beiden
> (gleichwertigen) Bedingungen:
> [mm]f_{x}=-i*f_{y}[/mm] oder [mm]u_{x}=v_{y}, u_{y}=-v_{x}.[/mm]
>
> So richtig hilft mir das irgendwie noch nicht weiter, weil
> ich will doch zeigen, dass [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm] und
> [mm]v_{xx}+v_{yy}=0.[/mm] Was helfen mir denn da diese Aussage, die
> u und v in einen Zusammenhang bringen?
Leite die erste DGL nach x, die zweite nach y ab. Was kommt heraus?
Viele Grüße
Rainer
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Also, ich sitze vor der selben aufgabe und komme an einer kleinen stelle noch nicht zum ziel.
soweit habe ich es jetzt:
also, da f holomorph ist, gilt nach dem Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungssystem für f entweder:
[mm] f_{x}+ [/mm] i* [mm] f_{y} [/mm] = 0
oder [mm] u_{x}=v_{y} [/mm] , [mm] u_{y}=- v_{x}
[/mm]
also habe ich 2 Fälle zu untersuchen.
1.Fall: [mm] u_{x}=v_{y} [/mm] und [mm] u_{y}=- v_{x} [/mm] gilt
[mm] u_{x}=v_{y} \Rightarrow u_{xx}=v_{yx}
[/mm]
[mm] u_{y}=- v_{x} \Rightarrow u_{yy}=- v_{xy}
[/mm]
da u, v zweimal stetig partiell differentierbar sind, gilt das Vertauschbarkeitslemma von H.A. Schwarz, also:
[mm] v_{xy}= v_{yx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy} [/mm] = [mm] v_{yx} [/mm] - [mm] v_{xy} [/mm] = [mm] v_{yx} [/mm] - [mm] v_{yx} [/mm] = 0
und für v analog
[mm] \Rightarrow [/mm] u und v sind harmonische Funktionen
2.Fall: [mm] f_{x}+ [/mm] i* [mm] f_{y} [/mm] = 0 gilt
[mm] f_{x}+ [/mm] i* [mm] f_{y} [/mm] = [mm] u_{x} [/mm] + i* [mm] v_{x} [/mm] + i* [mm] u_{y} [/mm] - [mm] v_{y} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow u_{x} [/mm] = - [mm] v_{x} [/mm] - i* [mm] u_{y} [/mm] + [mm] v_{y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{xx} [/mm] = - [mm] v_{xx} [/mm] - i* [mm] u_{yx} [/mm] + [mm] v_{yx}
[/mm]
und
[mm] u_{y} [/mm] = i* [mm] u_{x} [/mm] - [mm] v_{x} [/mm] + i* [mm] v_{y}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{yy} [/mm] = i* [mm] u_{xy} [/mm] - [mm] v_{xy} [/mm] + i* [mm] v_{yy}
[/mm]
da u,v zweimal stetig differenzierbar, ergibt sich also wieder [mm] u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy} [/mm] = - [mm] v_{xx} [/mm] - i* [mm] u_{yx} [/mm] + [mm] v_{yx} [/mm] +
i* [mm] u_{xy} [/mm] - [mm] v_{xy} [/mm] + i* [mm] v_{yy} [/mm] = - [mm] v_{xx} [/mm] + i* [mm] v_{yy}
[/mm]
so, nun muss das ja gerade 0 sein, und an der stelle komm ich nicht weiter, warum das gelten muss.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo conny!
> Also, ich sitze vor der selben aufgabe und komme an einer
> kleinen stelle noch nicht zum ziel.
>
> soweit habe ich es jetzt:
>
> also, da f holomorph ist, gilt nach dem Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichungssystem für f entweder:
> [mm]f_{x}+[/mm] i* [mm]f_{y}[/mm] = 0
>
> oder [mm]u_{x}=v_{y}[/mm] , [mm]u_{y}=- v_{x}[/mm]
>
> also habe ich 2 Fälle zu untersuchen.
>
> 1.Fall: [mm]u_{x}=v_{y}[/mm] und [mm]u_{y}=- v_{x}[/mm] gilt
>
> [mm]u_{x}=v_{y} \Rightarrow u_{xx}=v_{yx}[/mm]
> [mm]u_{y}=- v_{x} \Rightarrow u_{yy}=- v_{xy}[/mm]
>
> da u, v zweimal stetig partiell differentierbar sind, gilt
> das Vertauschbarkeitslemma von H.A. Schwarz, also:
> [mm]v_{xy}= v_{yx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u_{xx}[/mm] + [mm]u_{yy}[/mm] = [mm]v_{yx}[/mm] - [mm]v_{xy}[/mm] = [mm]v_{yx}[/mm] -
> [mm]v_{yx}[/mm] = 0
>
> und für v analog
> [mm]\Rightarrow[/mm] u und v sind harmonische Funktionen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.Fall: [mm]f_{x}+[/mm] i* [mm]f_{y}[/mm] = 0 gilt
Das ist äquivalent, denn der 1. Fall ist der 2. Fall, nach Real- und Imaginärteil getrennt aufgeschrieben.
>
> [mm]f_{x}+ i* f_{y} = u_{x} + i* v_{x} + i* u_{y} - v_{y}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow u_{x} = - v_{x} - i* u_{y} + v_{y}[/mm]
Da ist dir ein Faktor i abhanden gekommen:
[mm] u_{x} = - \red{i*}v_{x} - i* u_{y} + v_{y}[/mm]
und weiter unten:
[mm] u_y = i*u_x - v_x \red{-} i v_y [/mm]
Zum Schluss ergibt sich:
[mm]u_{xx} + u_{yy} = - \red{i*}v_{xx} \red{-} i* v_{yy}[/mm]
Links steht eine reelle Zahl, rechts eine rein imaginäre. Daher kann diese Gleichung nur gelten, wenn beide Seiten für sich 0 sind.
Für den Realteil gilt: [mm]u_{xx} + u_{yy}=0[/mm], für den Imaginärteil gilt: [mm]v_{xx} + v_{yy}=0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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