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Hallo zusammen,
ich hab zwei harmonishe fkt u,v. dann ist die funktion [mm]w(x):=u(x)*v(x)[/mm] genau dann harmonisch, wenn [mm]\nabla u[/mm] senkrecht auf [mm] \nabla [/mm] v gilt.
es gilt
[mm] u_{x} =v_{y} [/mm]
[mm] u_{y} =-v_{x} [/mm]
also
[mm] \nabla [/mm] u [mm] *\nabla v=u_{x} *v_{x} +u_{y} *v_{y}= v_{y} *v_{x} -v_{x} *v_{y}=0
[/mm]
d.h sie sind senkrecht zueinander.
stimmt das so? fehlt noch was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich hab zwei harmonishe fkt u,v. dann ist die funktion
> [mm]w(x):=u(x)*v(x)[/mm]
Du meinst wohl
$w(x,y):=u(x,y)*v(x,y)$
> genau dann harmonisch, wenn [mm]\nabla u[/mm]
> senkrecht auf [mm]\nabla[/mm] v gilt.
>
> es gilt
> [mm]u_{x} =v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y} =-v_{x}[/mm]
??? Wieso sollten diese Gleichungen gelten ?
Es gilt:
[mm] u_{xx}+u_{yy}=0
[/mm]
und
[mm] v_{xx}+v_{yy}=0
[/mm]
Du sollst zeigen:
[mm] w_{xx}+w_{yy}=0 \gdw u_xv_x+u_yv_y=0
[/mm]
FRED
>
> also
> [mm]\nabla[/mm] u [mm]*\nabla v=u_{x} *v_{x} +u_{y} *v_{y}= v_{y} *v_{x} -v_{x} *v_{y}=0[/mm]
>
> d.h sie sind senkrecht zueinander.
>
> stimmt das so? fehlt noch was?
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auf dem ÜB stehts so
> > [mm]w(x):=u(x)*v(x)[/mm]
>
>
> > [mm]u_{x} =v_{y}[/mm]
> > [mm]u_{y} =-v_{x}[/mm]
>
> ??? Wieso sollten diese Gleichungen gelten ?
weil u und v harmonische funktionen sind?
> Es gilt:
>
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]v_{xx}+v_{yy}=0[/mm]
>
> Du sollst zeigen:
>
> [mm]w_{xx}+w_{yy}=0 \gdw u_xv_x+u_yv_y=0[/mm]
>
aber wie soll ich das zeigen, dass das null gibt, wenn ich die bedingungen ganz oben nicht einsetzen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> auf dem ÜB stehts so
> > > [mm]w(x):=u(x)*v(x)[/mm]
> >
> >
>
>
> > > [mm]u_{x} =v_{y}[/mm]
> > > [mm]u_{y} =-v_{x}[/mm]
> >
> > ??? Wieso sollten diese Gleichungen gelten ?
>
> weil u und v harmonische funktionen sind?
Nein. Diese Gleichungen müssen nicht erfüllt sein. Eine Funktion u heißt harmonisch, wenn [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm] gilt.
>
> > Es gilt:
> >
> > [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]v_{xx}+v_{yy}=0[/mm]
> >
> > Du sollst zeigen:
> >
> > [mm]w_{xx}+w_{yy}=0 \gdw u_xv_x+u_yv_y=0[/mm]
> >
> aber wie soll ich das zeigen, dass das null gibt, wenn ich
> die bedingungen ganz oben nicht einsetzen kann?
Verwende, dass u und v harmonisch sind !!!!!
FRED
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muss ich mit dieser gleichung beginnen?
$ [mm] w(x):=u(x)\cdot{}v(x) [/mm] $
dann [mm] u_{xx}+u_{yy} [/mm] in u einsetzen
und [mm] v_{xx}+v_{yy} [/mm] in v
$ [mm] w(x):=u(x)\cdot{}v(x) =(u_{xx}+u_{yy})(v_{xx}+v_{yy})$
[/mm]
dann ausmultipliziereb, aber da bekomm ich ja nicht 0 raus.
wenn ich mit [mm] u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y} [/mm] anfange, weiß ich nicht was ich einsetzen muss. die bedinung, dass u, v harm. ist, ist ja die 2. abl.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> muss ich mit dieser gleichung beginnen?
> [mm]w(x):=u(x)\cdot{}v(x)[/mm]
Bist Du beratungsresistent ?
Es lautet
[mm]w(x,y):=u(x,y)\cdot{}v(x,y)[/mm]
> dann [mm]u_{xx}+u_{yy}[/mm] in u einsetzen
> und [mm]v_{xx}+v_{yy}[/mm] in v
>
> [mm]w(x):=u(x)\cdot{}v(x) =(u_{xx}+u_{yy})(v_{xx}+v_{yy})[/mm]
Das ist doch völliger Quatsch !
> dann
> ausmultipliziereb, aber da bekomm ich ja nicht 0 raus.
>
> wenn ich mit [mm]u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}[/mm] anfange, weiß ich
> nicht was ich einsetzen muss. die bedinung, dass u, v harm.
> ist, ist ja die 2. abl.
Mach folgendes:
1. Für [mm]w(x,y)=u(x,y)\cdot{}v(x,y)[/mm] berechne
[mm]w_{xx}+w_{yy}[/mm]
und verwende , dass [mm]u_{xx}+u_{yy}=0=v_{xx}+v_{yy} [/mm] ist.
2. Mit 1. hast Du einen Ausdruck für [mm]w_{xx}+w_{yy}[/mm]. Nun überlege Dir, wann [mm]w_{xx}+w_{yy}=0[/mm] gilt.
FRED
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> > muss ich mit dieser gleichung beginnen?
> > [mm]w(x):=u(x)\cdot{}v(x)[/mm]
>
> Bist Du beratungsresistent ?
> ne, ich habs einfach nicht geblickt, aber jetzt hab ichs glaub
> Es lautet
>
> [mm]w(x,y):=u(x,y)\cdot{}v(x,y)[/mm]
>
[mm] w_{xx}+w_{yy}=u_{xx}v+u_{x}v_{x}+u_{x}v_{x}+u*v_{xx}+u_{yy}v+u_{y}v_{y}+u_{y}v_{y}+u*v_{yy}
[/mm]
[mm] =2u_{y}v_{y}+2u_{x}v_{x}
[/mm]
>
>
> 2. Mit 1. hast Du einen Ausdruck für [mm]w_{xx}+w_{yy}[/mm]. Nun
> überlege Dir, wann [mm]w_{xx}+w_{yy}=0[/mm] gilt.
>
das wird null, wenn aus jedem term jeweils eine ableitung gleich null ist
> FRED
> >
> >
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > muss ich mit dieser gleichung beginnen?
> > > [mm]w(x):=u(x)\cdot{}v(x)[/mm]
> >
> > Bist Du beratungsresistent ?
> > ne, ich habs einfach nicht geblickt, aber jetzt hab
> ichs glaub
> > Es lautet
> >
> > [mm]w(x,y):=u(x,y)\cdot{}v(x,y)[/mm]
> >
>
>
> [mm]w_{xx}+w_{yy}=u_{xx}v+u_{x}v_{x}+u_{x}v_{x}+u*v_{xx}+u_{yy}v+u_{y}v_{y}+u_{y}v_{y}+u*v_{yy}[/mm]
> [mm]=2u_{y}v_{y}+2u_{x}v_{x}[/mm]
Bingo !
>
> >
> >
> > 2. Mit 1. hast Du einen Ausdruck für [mm]w_{xx}+w_{yy}[/mm]. Nun
> > überlege Dir, wann [mm]w_{xx}+w_{yy}=0[/mm] gilt.
> >
> das wird null, wenn aus jedem term jeweils eine ableitung
> gleich null ist
Hast Du denn vergessen, was Du zeigen sollst ???
Zeigen sollst Du:
[mm]w_{xx}+w_{yy}=0[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]u_{y}v_{y}+u_{x}v_{x}=0[/mm]
Ja, und das haben wir ja jetzt mit viel Mühe zusammenbekommen.
FRED
> > FRED
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cool :)
vielen, vielen dank :)
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ich hab noch ne frage zur nächsten teilaufgabe.
Eine Abb. T heißt Isometrie, wenn es eine orthogonale matrix A und ein b gibt, s.d. [mm]T(v)=Av+b[/mm] gilt.
zeige: ist u harmonisch, so auch u°T
also was ich schon rausbekommen hab, ist, dass d(x,y)=d(f(x),f(y)) isometrie definiert.
da u wieder harm. ist, muss wieder
[mm] u_{xx}+u_{yy}=0 [/mm] gelten.
hast du nen tipp?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Fr 20.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich hab noch ne frage zur nächsten teilaufgabe.
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> Eine Abb. T heißt Isometrie, wenn es eine orthogonale
> matrix A und ein b gibt, s.d. [mm]T(v)=Av+b[/mm] gilt.
> zeige: ist u harmonisch, so auch u°T
Wenn Du noch ein paar wenige Worte über den Definitionsraum von T spendieren würdest, kann Dir vielleicht geholfen werden.
FRED
>
> also was ich schon rausbekommen hab, ist, dass
> d(x,y)=d(f(x),f(y)) isometrie definiert.
> da u wieder harm. ist, muss wieder
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm] gelten.
> hast du nen tipp?
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[mm] T:\mathbb R^{n} ->\mathbb R^{n} [/mm] heißt isometrie von [mm] \mathbb [/mm] R ^{n}
[mm] u:\mathbb R^{n} ->\mathbb [/mm] R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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