"halbe" harmonische reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
moin,
Es hat sich gerade bei ein wenig rechnen folgende Frage ergeben.
Was ist:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{k}$
[/mm]
Für "kleine" Werte für n (bis 1.000.000) ist der Wert beinahe konstant bei 0,69.
Allerdings hab ich keine Ahnung und keine Idee, wie man das für n gegen unendlich machen soll, da ja beide Grenzen der Summe von n abhängig sind...
Ich kann bei Bedarf zeigen (bzw. argumentativ darlegen^^), dass für alle $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
$0 [mm] \leq \sum\limits_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{k} \leq [/mm] 1$
thx schonmal
Schadowmaster
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 29.08.2011 | | Autor: | hippias |
Es gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} [/mm] -ln(n)= [mm] \gamma$, [/mm] wobei [mm] $\gamma$ [/mm] die Euler'sche Konstante bezeichne. Damit folgt [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{k}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 1}^{2n} \frac{1}{k}- \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 1}^{2n} \frac{1}{k}-ln(n)- (\sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}- [/mm] ln(2n))+ ln(2)= [mm] \gamma-\gamma+ [/mm] ln(2)= ln(2)$. Passt ja auch gut zu den 0,69.
|
|
|
| |
|
hmm, doch, sieht hübsch aus.
thx
|
|
|
| |
|
> Es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} -ln(n)= \gamma[/mm],
> wobei [mm]\gamma[/mm] die Euler'sche Konstante bezeichne. Damit
> folgt [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = n+1}^{2n} \frac{1}{k}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 1}^{2n} \frac{1}{k}- \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 1}^{2n} \frac{1}{k}-ln(n)- (\sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}- ln(2n))+ ln(2)= \gamma-\gamma+ ln(2)= ln(2)[/mm].
> Passt ja auch gut zu den 0,69.
Hallo,
für die Herleitung des Ergebnisses braucht man aber die
Konstante (Euler-Mascheroni) keineswegs, weder numerisch
noch überhaupt !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 29.08.2011 | | Autor: | hippias |
Aber ich habe wenigstens die Konvergenz von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} [/mm] -ln(n)$ benoetigt. Da ich keine Idee hatte diese zu beweisen, gab ich das Stichwort, um "weiterfuehrende Studien" zu erleichtern. Es gibt aber bestimmt eine elementarere Herleitung des Grenzwertes.
|
|
|
| |
|
Um die Kritik von Al-Chwarizmi aufzugreifen:
Man kann die Summe als Untersumme des Integrals [mm]\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x}[/mm] auffassen, wenn man das Intervall [mm][1,2][/mm] in [mm]n[/mm] gleiche Teile teilt. Das war's auch schon.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 29.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
kann es sein, dass Du Obersummen meinst?
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> kann es sein, dass Du Obersummen meinst?
Leopold meint wohl schon Untersummen.
Die Funktion $\ [mm] f:x\to\frac{1}{x}$ [/mm] ist über [1...2] fallend.
Beispiel: [mm] $\summe_{k=3+1}^{2*3}\frac{1}{k*\frac{1}{3}}*\frac{1}{3}\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=3+1}^{2*3}\frac{1}{k}\ [/mm] =\ [mm] \frac{37}{60}\ [/mm] =\ [mm] 0.61\overline{6}\ [/mm] <\ ln(2)\ =\ [mm] \integral_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx$ [/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Um die Kritik von Al-Chwarizmi aufzugreifen:
(war gar nicht als "Kritik" gemeint - nur als Anmerkung)
> Man kann die Summe als Untersumme des Integrals [mm]\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x}[/mm]
> auffassen, wenn man das Intervall [mm][1,2][/mm] in [mm]n[/mm] gleiche Teile
> teilt. Das war's auch schon.
Genau so habe ich mir das auch gedacht.
LG Al
|
|
|
|
