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sei G beliebig gruppe,a und b sind zwei elemente davon mit ab=ba
zu zeigen:sind a,b von endliche ordnung,ord(a)=x,ord(b)=y,so ist auch ab von endliche ordnung ,es gilt noch
[mm] 1.\bruch{kgV(x,y)}{ggT(x,y)} \le [/mm] t [mm] \le [/mm] kgV(x,y)
[mm] 2.t=m\bruch{kgV(x,y)}{ggT(x,y)},wobei [/mm] mein geeigneter teiler von ggT(x,y)
t=ord(ab)
frage zu 1.:ich habe schon bewiesen,dass t
endlich,und wenn x und y zu einander prim,dann gilt das gleichzeichen ,aber fuer <?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Dass $ord(ab)$ endlich ist, ist klar, da [mm] $(ab)^{xy}=(a^x)^y (b^y)^x [/mm] = e$. Es sei nun $ord(ab)=t$, dann ist [mm] $a^t [/mm] = [mm] b^{-t}$, [/mm] also [mm] $(a^t)^x [/mm] = [mm] (b^{-t})^x\gdw [/mm] e = [mm] b^{-xt}$. [/mm] Daraus folgt, dass $xt$ Vielfaches von $y$ ist. Es muss also $t$ Vielfaches von [mm] $\frac{y}{\text{ggT}(x,y)}$ [/mm] sein. Analog dazu ergibt sich, dass $yt$ Vielfaches von $x$, also $t$ Vielfaches von [mm] $\frac{x}{\text{ggT}(x,y)}$ [/mm] gelten muss. Zusammen folgt [mm] $\frac{\text{kgV}(x,y)}{\text{ggT}(x,y)}|t$. [/mm] Wegen $t|xy$ (denn [mm] $(ab)^{xy}=e$, [/mm] d.h. $ord(ab)$ ist Teiler von $xy$) folgt nun Aussage 1.
Klar? Aussage 2 ergibt sich nun sofort aus Aussage 1, schaffst du das selbst?
Liebe Grüße,
Hanno
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[mm] \bruch{kgV(X,Y)}{ggT(X,Y)} [/mm] |t
d.h.t=m [mm] \bruch{kgV(X,Y)}{ggT(X,Y)},m [/mm] ist eine natueliche zahl
frage:ist m einen teil von ggt(x,y)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Ja, $t$ muss Teiler von $ggT(X,Y)$ sein. Dies liegt daran, [mm] $(ab)^{kgV(X,Y)}=e$ [/mm] ist und somit $ord(ab)$ Teiler von $kgV(X,Y)$ sein muss. Andererseits hat $t$ die Form [mm] $m\frac{kgV(X,Y)}{ggT(X,Y)}=\frac{kgV(X,Y)}{\frac{ggT(X,Y)}{m}}$; [/mm] beide Bedingungen sind genau dann erfüllt, wenn $m$ Teiler von $ggT(X,Y)$ ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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wie folgt aus [mm] \bruch{x}{ggT(X,Y)}|t und\bruch{x}{ggT(X,Y)}t,dass
[/mm]
[mm] |\bruch{kgV(X,Y)}{ggT(X,Y)}|t?
[/mm]
ich bin noch nicht so klar
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> wie folgt aus [mm]\bruch{x}{ggT(X,Y)}|t und\bruch{x}{ggT(X,Y)}t,dass[/mm]
>
> [mm]|\bruch{kgV(X,Y)}{ggT(X,Y)}|t?[/mm]
> ich bin noch nicht so klar
Hallo,
es ist doch x=a*ggT(x,y) und y=b*ggt(x,y) mit ggt(a,b)=1, also teilerfremd.
> ... [mm] \bruch{x}{ggT(X,Y)} [/mm] | t [mm] und\bruch{x}{ggT(X,Y)}| [/mm] t,
<==> a|t und b|t
Weil a und b teilerfremd sind, folgt ab|t.
Was aber ist ab? ab= [mm] \bruch{ab*ggT(x,y)}{ggT(x,y)}= \bruch{kgV(x,y)}{ggT(x,y)}
[/mm]
Gruß v, Angela
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