größter gemeinsamer Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Mo 01.11.2010 | | Autor: | savage |
| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring. Weiter seien [mm] X^n-1, X^m-1 \in [/mm] R[X] mit n,m [mm] \in \mathbb [/mm] N und [mm] n\geq [/mm] m > 0
Zeige:
a) dass [mm] X^{ggT(n,m)}-1 [/mm] ein größter gemeinsamer teiler von [mm] X^n-1 [/mm] und [mm] X^m-1 [/mm] ist.
b)Zeige, dass für alle a [mm] \in [/mm] R ein größter gemeinsamer Teiler von [mm] a^n-1 [/mm] und [mm] a^m-1 [/mm] durch [mm] a^{ggT(n,m)}-1 [/mm] gegeben ist |
hallo,
diese aufgabe beschäftigt mich zur zeit.
dass die aussage stimmt, lässt sich leicht nachprüfen. aber wie lässt sich das ganze beweisen?
kann mir jemand einen tipp geben?
danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei R ein kommutativer Ring. Weiter seien [mm]X^n-1, X^m-1 \in[/mm]
> R[X] mit n,m [mm]\in \mathbb[/mm] N und [mm]n\geq[/mm] m > 0
>
> Zeige:
> a) dass [mm]X^{ggT(n,m)}-1[/mm] ein größter gemeinsamer teiler von
> [mm]X^n-1[/mm] und [mm]X^m-1[/mm] ist.
> b)Zeige, dass für alle a [mm]\in[/mm] R ein größter gemeinsamer
> Teiler von [mm]a^n-1[/mm] und [mm]a^m-1[/mm] durch [mm]a^{ggT(n,m)}-1[/mm] gegeben
> ist
> hallo,
>
> diese aufgabe beschäftigt mich zur zeit.
> dass die aussage stimmt, lässt sich leicht nachprüfen.
> aber wie lässt sich das ganze beweisen?
Zeige, dass [mm] $ggT(X^n [/mm] - 1, [mm] X^m [/mm] - 1) = [mm] ggT(X^n [/mm] - 1, [mm] X^{m \text{ mod } n} [/mm] - 1)$ ist. (Dazu hilft z.B. die geometrische Summenformel.)
Wie beim euklidischen Algorithmus folgt also [mm] $ggT(X^n [/mm] - 1, [mm] X^m [/mm] - 1) = [mm] ggT(X^{ggT(n, m)} [/mm] - 1, [mm] X^0 [/mm] - 1) = [mm] X^{ggT(n,m)} [/mm] - 1$.
Zum zweiten Aufgabenteil: vom ersten Aufgabenteil her sieht man sofort, dass es ein gemeinsamer Teiler ist. Wie man aber zeigt, dass es ein ggT ist, weiss ich nicht... In schoenen Ringen mag das ja der Fall sein, aber in beliebigen kommutativen Ringen?! Ich weiss nicht...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:15 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei R ein kommutativer Ring. Weiter seien [mm]X^n-1, X^m-1 \in[/mm]
> R[X] mit n,m [mm]\in \mathbb[/mm] N und [mm]n\geq[/mm] m > 0
>
> Zeige:
> a) dass [mm]X^{ggT(n,m)}-1[/mm] ein größter gemeinsamer teiler von
> [mm]X^n-1[/mm] und [mm]X^m-1[/mm] ist.
> b)Zeige, dass für alle a [mm]\in[/mm] R ein größter gemeinsamer
> Teiler von [mm]a^n-1[/mm] und [mm]a^m-1[/mm] durch [mm]a^{ggT(n,m)}-1[/mm] gegeben
> ist
Zeige, dass es Polynome $f, g [mm] \in [/mm] R[X]$ gibt mit $f [mm] \cdot (X^n [/mm] - 1) + g [mm] \cdot (X^m [/mm] - 1) = [mm] X^{ggT(n,m)} [/mm] - 1$. Zeige weiterhin, dass es Polynome [mm] $h_1, h_2 \in [/mm] R[X]$ gibt mit [mm] $h_1 \cdot (X^{ggT(n,m)} [/mm] - 1) = [mm] X^n [/mm] - 1$ und [mm] $h_2 \cdot (X^{ggT(n,m)} [/mm] - 1) = [mm] X^m [/mm] - 1$.
Daraus folgt sofort a) und b): aus $f, g$ folgt, dass [mm] $X^{ggT(n,m)} [/mm] - 1$ bzw. [mm] $a^{ggT(n,m)} [/mm] - 1$ ein Vielfaches jedes gemeinsamen Teilers von [mm] $X^n [/mm] - 1$ und [mm] $X^m [/mm] - 1$ bzw. [mm] $a^n [/mm] - 1$ und [mm] $a^m [/mm] - 1$ ist; und aus [mm] $h_1, h_2$ [/mm] folgt, dass [mm] $X^{ggT(n,m)}-1$ [/mm] bzw. [mm] $a^{ggT(n,m)} [/mm] - 1$ ein gemeinsamer Teiler von [mm] $X^n [/mm] - 1$ und [mm] $X^m [/mm] - 1$ bzw. [mm] $a^n [/mm] - 1$ und [mm] $a^m [/mm] - 1$ ist.
Und nein, die Existenz von $f$ und $g$ folgt nicht aus a). Du kannst allerdings einen Algorithmus angeben, der diese Polynome konstruiert. (Kennst du einen, der das tut, wenn $R$ ein Koerper ist?)
LG Felix
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