grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Do 10.07.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(i) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2x+sinx}
[/mm]
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} xsin\bruch{1}{x}
[/mm]
(iii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{sinx}{x^3} [/mm] - [mm] \bruch{cosx}{x^2})
[/mm]
(iv) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x(ln(x+a)-lnx),a\in \IR [/mm] |
hallo,
also habe ein paar Ansätze weiß aber nicht ob sie stimmen,
zu (i) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2x+sinx}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{x(2+\bruch{sinx}{x})}=\bruch{1}{3}
[/mm]
zu (ii) könnte ich nur sagen, dass ich weiß, dass sin x bei 1 beschränkt ist, wüßte aber nicht wie ich es hier einbauen soll, bzw weiß garnicht ob das was bringt.
zu (iii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{sinx}{x^3} [/mm] - [mm] \bruch{cosx}{x^2})=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2sinx-x^3cosx}{x^5}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^3(\bruch{sinx}{x}-cosx)}{x^5}=???
[/mm]
zu (iv) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x(ln(x+a)-lnx)=\limes_{x\rightarrow\infty} xln(\bruch{x+a}{x})=\limes_{x\rightarrow\infty} xln(1+\bruch{a}{x})=????
[/mm]
wäre super wenn jemand meine ansätze korriegieren könnte bzw mich bestätigt!
LG
nimet
|
|
| |
|
Hallo nimet,
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
>
> (i) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2x+sinx}[/mm]
>
> (ii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} xsin\bruch{1}{x}[/mm]
>
> (iii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{sinx}{x^3}[/mm] - [mm]\bruch{cosx}{x^2})[/mm]
>
> (iv) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x(ln(x+a)-lnx),a\in \IR[/mm]
>
> hallo,
>
> also habe ein paar Ansätze weiß aber nicht ob sie stimmen,
>
> zu (i) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2x+sinx}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{x(2+\bruch{sinx}{x})} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] =\bruch{1}{3}[/mm]
Das ist nur ein Schreibfehler, das geht gegen [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> zu (ii) könnte ich nur sagen, dass ich weiß, dass sin x bei
> 1 beschränkt ist, wüßte aber nicht wie ich es hier einbauen
> soll, bzw weiß garnicht ob das was bringt.
Versuche mal folgenden "Trick"
Anstatt [mm] $x\to\infty$ [/mm] zu betrachten, kannst du genauso gut [mm] $\frac{1}{x}\to [/mm] 0$ betrachten ...
Damit geht's ganz schnell
> zu (iii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{sinx}{x^3}[/mm] - [mm]\bruch{cosx}{x^2})=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2sinx-x^3cosx}{x^5}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^3(\bruch{sinx}{x}-cosx)}{x^5}=???[/mm]
Hmm, ich würde das nur auf den Hauptnenner [mm] $x^3$ [/mm] bringen, danach solltest du mit einmaliger Anwendung der Regel von de l'Hôpital schnell zum Ziel kommen...
> zu (iv) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x(ln(x+a)-lnx)=\limes_{x\rightarrow\infty} xln(\bruch{x+a}{x})=\limes_{x\rightarrow\infty} xln(1+\bruch{a}{x})=????[/mm]
Muss ich mir noch überlegen 
Ich setze es mal auf teilweise beantwortet...
>
> wäre super wenn jemand meine ansätze korriegieren könnte
> bzw mich bestätigt!
>
> LG
> nimet
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
bei der (iv) benutze das Logarithmusgesetz [mm] $\ln(x)-\ln(y)=\ln\left(\frac{x}{y}\right)$
[/mm]
Also hier: [mm] $x\cdot{}\left[\ln(x+a)-\ln(x)\right]=x\cdot{}\ln\left(\frac{x+a}{x}\right)=x\cdot{}\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)$
[/mm]
Das kannst du dann schreiben als [mm] $\frac{\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$, [/mm] was für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] strebt
Also kannst du kräftig mit de l'Hôpital draufhauen...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
