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| Aufgabe | untersuchen sie die funktionen ob sie [mm] f_{j}:]0,\infty[\to\IR [/mm] in null einen grenzwert haben und bestimmen sie diesen,falls er existiert:
[mm] f_{1}:x\mapstox*[1/x] [/mm] (gaussklammer)
[mm] f_{2}:x\mapsto\bruch{1}{x^n}*exp^{-1/x},n\in\IN
[/mm]
[mm] f_{3}:x\mapsto x^a*log(x), [/mm] a>0 |
hallo,
bei der 1.würd ich sagen der grenzwert in 0 ist 1 aber auch nur weil ichs mit dem taschenrechner probiert habe,ich wüsste aber nicht wie ich sowas beiweisen sollte.Zu der 2. würd ich sagen das der [mm] 1.teil(1/x^n) [/mm] gegen unendlich geht und der 2.teil mit exp(-1/x) gegen 0 und deswegen geht das produkt auch gegen 0 und zu der 3.würde ich sagen der grenzwert ist auch 0.Wenn meine überlegungen stimmen sollten,weiß ich aber noch lange nicht,wie ich das beweisen soll.
bin dankbar über hilfe.
gruß
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> untersuchen sie die funktionen ob sie
> [mm]f_{j}:]0,\infty[\to\IR[/mm] in null einen grenzwert haben und
> bestimmen sie diesen,falls er existiert:
> [mm]f_{1}:x\mapstox*[1/x][/mm] (gaussklammer)
> [mm]f_{2}:x\mapsto\bruch{1}{x^n}*exp^{-1/x},n\in\IN[/mm]
> [mm]f_{3}:x\mapsto x^a*log(x),[/mm] a>0
> hallo,
>
> bei der 1.würd ich sagen der grenzwert in 0 ist 1 aber auch
> nur weil ichs mit dem taschenrechner probiert habe,ich
> wüsste aber nicht wie ich sowas beiweisen sollte.
aus Zeitgründen meinerseits nur erstmal kurz zu [mm] $f_1$. [/mm] Nimm mal o.B.d.A. an, dass $|x| [mm] \le [/mm] 1$ (weil ja $x [mm] \to [/mm] 0$ gehen soll).
Überlegen wir uns erstmal den Fall $x > 0$ (den Fall $x < 0$ kannst Du ja später versuchen, analog abzuhandeln).
Überlege Dir zunächst:
[mm] $(0,1]=\bigcup_{n \in \IN} I_n$ [/mm] mit [mm] $I_n:=\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und diese Vereinigung ist disjunkt.
Daher gilt:
Es gibt genau ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{n+1} [/mm] < x [mm] \le \frac{1}{n}$ $(\*)$, [/mm] d.h. $n [mm] \le \frac{1}{x} [/mm] < n+1$ und daher auch [mm] $n=\left[\frac{1}{x}\right]$.
[/mm]
Daher folgt
[mm] $x*\left[\frac{1}{x}\right]=x*n$ [/mm] und wegen [mm] $(\*)$ [/mm] ist $x*n [mm] \le [/mm] 1$, also [mm] $x*\left[\frac{1}{x}\right] \le [/mm] 1$ gilt stets.
Zudem gilt wegen [mm] $(\*)$ [/mm] auch
$1-x < n*x$, d.h. wir haben die Abschätzung (für $0 < x [mm] \le [/mm] 1$)
$1-x < [mm] x*\left[\frac{1}{x}\right] \le [/mm] 1$.
Was passiert nun bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
P.S.:
Im Falle $-1 [mm] \le [/mm] x < 0$ kann man analog die Abschätzung
$1 [mm] \le x*\left[\frac{1}{x}\right] \le [/mm] 1-x$
beweisen (an einer Stelle kann man auch das [mm] $\le$ [/mm] durch $<$ ersetzen, aber ich bin gerade zu faul, genauer zu überlegen, an welcher Stelle, zumal die Abschätzung mit den zwei [mm] $\le$ [/mm] eh hinreichend ist). Das ganze übrigens mal anhand des Schaubildes des Graphen von $x [mm] \mapsto x*\left[\frac{1}{x}\right]$ [/mm] (dieser ist in Rot gezeichnet):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Erkennst Du, wie die obigen Abschätzungen an dem Bild zu sehen sind?
(Die blaue Linie ist der Graph von $x [mm] \mapsto [/mm] 1$, die grüne der Graph von $x [mm] \mapsto [/mm] 1-x$.)
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Zu der 2.
> würd ich sagen das der [mm]1.teil(1/x^n)[/mm] gegen unendlich geht
> und der 2.teil mit exp(-1/x) gegen 0 und deswegen geht das
> produkt auch gegen 0
Hey,
$0 * [mm] \infty$ [/mm] ist allerdings nicht definiert.
Gehe hier am besten über die Definition der Exponentialreihe.
Gruß Patrick
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hallo,
danke für eure hilfe!!danke marcel,für die umfangreiche erklärung und für die anschauliche zeichnung.zu der zweiten aufgabe mit exp(-1/x) habe ich in form einer reihe dargestellt [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^n}}{n!} [/mm] und nun kann man sagen diese reihe konvergiert gegen 0???
gruß
eva marie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marie,
> hallo,
>
> danke für eure hilfe!!danke marcel,für die umfangreiche
> erklärung und für die anschauliche zeichnung.zu der
> zweiten aufgabe mit exp(-1/x) habe ich in form einer reihe
> dargestellt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^n}}{n!}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und nun
> kann man sagen diese reihe konvergiert gegen 0???
abgesehen davon, dass $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^n}}{n!}$ nun wirklich gar nichts mit dem Ausdruck $\frac{1}{x^n}\exp\left(-\frac{1}{x}\right)$ zu tun hat, frage ich mich, wie Du darauf kommst, dass $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{\bruch{-1}{x^n}}{n!}$ bei $x \to 0$ gegen $0$ strebt?
Nun mal, wie es wirklich geht:
(+) $\exp(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$
Problem:
Wenn wir das nun bei $\frac{1}{x^n}*\exp\left(-\frac{1}{x}\right)$ benutzen wollen, müssen wir beachten, dass das $n$ bei $\frac{1}{x^n}$ ein festes $n \in \IN$ ist. Daher nennen wir den Laufindex bei (+) NICHT $n$, sondern $k$, was ja nichts an der Formel ändert, und setzen nun zudem bei (+) noch $z=-\frac{1}{x}$ ein:
$\exp\left(-\frac{1}{x}\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1}{x}\right)^k}{k!}$
Zudem gilt für jedes $k \in \IN_0$, dass
$\frac{\left(-\frac{1}{x}\right)^k}{k!}=\frac{(-1)^k}{k!*x^k}$, also
$(\*)$ $\exp\left(-\frac{1}{x}\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!*x^k}$
Weiterhin:
Für festes $n \in \IN$ folgt:
$\frac{1}{x^n}*\exp\left(-\frac{1}{x}\right)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!*x^{k+n}$
Wie's weitergehen soll, da fragst Du am besten Patrick 
Ich würde es so angehen (für $x > 0$ sei $r:=\frac{1}{x}$ ($ > 0$)):
Betrachten wir zunächst den rechtsseitigen Grenzwert an $0$:
$\lim_{x \to 0^+}\frac{\exp\left(-\frac{1}{x}\right)}{x^n}=\lim_{r \to \infty}\frac{\exp\left(-r\right)}{\frac{1}{r^n}}=\lim_{r \to \infty} \frac{r^n}{\exp(r)}$
Und dass $\frac{r^n}{\exp(r)} \to 0$ bei $r \to \infty$, bekommst Du heraus, wenn Du $n$ Mal Hospital anwendest (beachte: $\exp(r) \to \infty$ und $r^n \to \infty$ bei $r \to \infty$ (bei festem $n \in \IN$)):
$\lim_{r \to \infty} \frac{r^n}{\exp(r)}=\lim_{r \to \infty}\frac{n!}{\exp(r)}=0$
(Beachte: $r^0 \equiv 1$.)
Nun noch die Frage, was mit dem linksseitigen Grenzwert an $0$ ist. Dazu sei für $x < 0$ dann $s:=-\frac{1}{x}$ ($ > 0$):
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\exp\left(-\frac{1}{x}\right)}{x^n}=(-1)^n*\lim_{s \to \infty} (s^n \exp(s))$
Je nachdem, ob $n$ gerade oder ungerade:
Wogegen strebt dann $(-1)^n s^n \exp(s)$ bei $s \to \infty$?
Dazu überlege:
$(-1)^n=-1$ für ungerades $n$, und $(-1)^n=1$ für gerades $n$.
Außerdem:
Wogegen $s^n$ und $\exp(s)$ bei $s \to \infty$ streben, sollte Dir klar sein und damit auch, wogegen $s^n*\exp(s)$ bei $s \to \infty$ strebt.
Gruß,
Marcel
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