grenzwert < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo!
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt, ist diesmal eine echt komplizierte aufgabe!
lim f(x)
n--> unendlich
f(x) = (b-a)a² + [mm] (\bruch{b-a}{n})² [/mm] * 2a * [mm] (n+1)*\bruch{n}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{b-a}{n})³ [/mm] * [mm] \bruch{n}{6} [/mm] (2n+1)*(n+1)
Ich habe dann versucht zu vereinfachen und bin soweit gekommen, stimmt das noch soweit bzw. wie geht es dann weiter?
b*a² - a³ + (b-a)²*a + [mm] (\bruch{(b-a)²*a}{n}) [/mm] + [mm] (\bruch{(b-a)³}{3}) [/mm] + [mm] (\bruch{(b-a)³}{2n}) [/mm] + [mm] (\bruch{(b-a)³}{(n²*6)})
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo puldi!
Kannst Du vielleicht mal die ursprüngliche Aufgabenstellung posten? Das sieht mir hier doch ziemlich verquer aus ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Die Zeile, die ich euch als erste gegeben hat, hat meine lehrerin usn gegeben.
sie hat gesagt wir müssen icht nachvollziehen, wie man da hin kommt, aber es scheint die obersumme von x² für alle a >= 0 zu sein..
Danke, dass ihr mir helfen wollt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo puldy,
ist das $f(x)$ vll. ein $f(n)$?
Jedenfalls, um z.B.
[mm]\left(\bruch{b-a}{n}\right)²*2a*(n+1)*\bruch{n}{2}[/mm]
bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] zu berechnen, kannst Du einfach ein wenig rechnen:
[mm] $\left(\bruch{b-a}{n}\right)²*2a*(n+1)*\bruch{n}{2}=a(b-a)^2*\frac{n^2+n}{n^2}=a(b-a)^2*\left(1+\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Wogegen konvergiert das bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
So kannst Du bei Dir bei jedem Summanden in analoger Weise vorgehen, und nachher daran denken: Die Folgensumme konvergenter Folgen konvergiert gegen die Summe der Grenzwerte der einzelnen Folgen etc., also Rechenregeln für konvergente Folgen benützen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo!
Ja, ist ein f(n). soll ich dann jetzt einfach mal weiter ausmultiplizieren?
den amnfang mit ba² - a³ kann man ja schon wegfallen lassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe Deine Rechnung oben nicht kontrolliert, aber hier die nützliche Umformung:
[mm] $f(n)=(b-a)a^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{b-a}{n}\right)^2 [/mm] * 2a * [mm] (n+1)\cdot{}\bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \left(\bruch{b-a}{n}\right)^3 \bruch{n}{6} [/mm] (2n+1)*(n+1)$
[mm] $=(b-a)a^2+(b-a)^2*a\left(1+\frac{1}{n}\right)+(b-a)^3\frac{n(2n+1)(n+1)}{6n^3}$
[/mm]
[mm] $=(b-a)a^2+(b-a)^2*a\left(1+\frac{1}{n}\right)+(b-a)^3\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}$
[/mm]
[mm] $=(b-a)a^2+(b-a)^2*a\left(1+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{6}(b-a)^3\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right)$
[/mm]
Schau Dir an, wogegen die einzelnen Summanden bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben.
P.S.:
Grundsätzlich versuchen, konvergente Folgen durch umrechnen zu erkennen, so kannst Du hier z.B.:
[mm] $\frac{1}{n} \to [/mm] 0$, [mm] $\frac{1}{n^2} \to [/mm] 0$ etc. bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
benützen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo!
Danke, so seh ich das endlich mal alles ein, war vorher nur geheimschrift für mich^^
3 ist der grenzwert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Jetzt würde ich sagen, dass 2 grenzwert ist, stimmt eher oder?
Bitte antwortet mir! Danke!
jetzt wo ich noch einmal nachrerchne komme ich wieder auf 3,,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo sind all die a und b hin? 2 und 3 sind falsch, es sei denn es gibt irgendwo Werte für a und b!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Hallo!
Nein es gibt keine Werte für a und b. Das heißt ich darf sie nicht einfach wegfallen lassen. Also ich bin so weit:
$ [mm] =(b-a)a^2+(b-a)^2\cdot{}a\left(1+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{6}(b-a)^3\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\right) [/mm] $
(b-a)a² + (b-a)² *a + 1/6 (b-a)³*2
Jetzt richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit siehts richtig aus. Jetzt all die vielen Klammern auflösen, dann fällt viel weg.
Zur Kontrolle : 2 Glieder bleiben übrig mit jeweil 1/3 davor.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
ba² - a³ + b²a - 2a²b + ab² + (b²a)/(n) - (2a²b)/(n) + (ab²)/(n)
stimmt das soweit? und jetzt noch die hoch 3 klammer auflösen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Jetzt hab ichs!!
1/3 b³ - 1/3 a³
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Ja! Richtig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Fr 08.02.2008 | | Autor: | puldi |
Vielen Dank, ich hätte echt gedacht ich bekomm das gar nicht hin, aber dank euch... Top, danke!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 11.02.2008 | | Autor: | puldi |
Meine Lehrerin hat irgendwas von Integral gesagt, was man hier am Ende i-wie noch gebrauchen kann, könnt ihr mir das vll erklären?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Puldi,
> Meine Lehrerin hat irgendwas von Integral gesagt, was man
> hier am Ende i-wie noch gebrauchen kann, könnt ihr mir das
> vll erklären?
>
> Danke!
ja und nein. Wenn Du ein Integral berechnest, so kann man das mit den sogenannten Riemannschen Ober- und/oder Untersummen approximieren. Das klappt natürlich nur unter gewissen Voraussetzungen, so dass das Riemann-Integral überhaupt existiert, aber das ganze schweift etwas ins Theoretische ab, wenn ich das nun ausführlicher erläutere.
Wenn Du eine auf einem Intervall $(a,b)$ stetige Funktion $f$ hast, so kann man die Existenz des Riemann-Integrals sehr leicht begründen.
Jetzt kann man mal o.B.d.A. $(a,b)=(0,1)$ annehmen (das geht wegen der Bijektion $g:(a,b) [mm] \to [/mm] (0,1)$ mit [mm] $g(t):=\frac{t-a}{b-a}$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] (a,b)$ bzw. ggf. der zugehörigen Umkehrfunktion). Wenn dann zudem $f$ auf diesem Intervall monoton ist (o.E. sei $f$ monoton wachsend, andernfalls betrachte man $g:=-f$ dort), so kann man dieses Integral mit der (Ober-)Summe:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei
[mm] $s_n(f):=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ [/mm] (beachte, dass ich o.B.d.A. $f$ monoton wachsend angenommen habe!)
approximieren.
(Weil das [mm] $f\left(\frac{k}{n}\right)$ [/mm] hier vll. komisch aussieht: [mm] $f\left(\frac{k}{n}\right)=f(k/n)$, [/mm] es ist also der Funktionswert von $f$ an der Stelle [mm] $\frac{k}{n}$ [/mm] gemeint.)
D.h.: Bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt dann
[mm] $s_n(f) \to \integral_{a}^b [/mm] {f(x)dx}$
Das ganze kannst Du auch mal geometrisch interpretieren, indem Du die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse auf $(0,1)$ einschließt, mit $n$ Rechtecken der Breite [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und der Höhe [mm] $f\left(\frac{k}{n}\right)$ [/mm] "approximierst".
Diese $f(n)$, die Du angegeben hast, kommen sind dann das Ergebnis von einer solchen Rechteckapproximation des Integrals [mm] $\int_{a}^b [/mm] {g(x)dx}$ mit einer gewissen Funktion $g$, vermutlich auch auf $(a,b)=(0,1)$. Ich könnte mir jetzt durch Rückwärtsüberlegungen mit dem Wissen:
[mm] $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
[/mm]
etc. versuchen, dieses $g$ explizit anzugeben, aber ehrlich gesagt habe ich dazu gerade keine Lust, zumal es in der Regel auch sinnvoller ist, bei gegebenem (z.B. stetigen) $g$ das Intervall in $n$ gleiche Stücke zu zerlegen und das Integral dann mittels einer Riemannsumme zu approximieren. Auf jeden solltest Du einfach im Hinterkopf haben:
[mm] $\int_{a}^b [/mm] {g(x)dx}$ läßt sich ggf. mittels "Summen von Rechteckflächen zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse" approximieren, und wenn man dann mit solchen "Riemannsummen" arbeitet, kommt man zu gewissen Summen analog zu oben...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
