grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Kreide |
Bestimme den Grenzwert der folge [mm] a_{n}=2^n(\wurzel(4^{n}+1)-\wurzel(4^{n}-1))
[/mm]
So ich hab diese Folge umgeformt zu
[mm] a_{n}=\bruch{2^{n}2}{\wurzel(4^{n}+1)+\wurzel(4^{n}-1)}
[/mm]
nun betrachte ich den Limes von dieser Folge
wenn ich die Permanzregel anwende komme ich auf:
[mm] a_{n}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2^{n}2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel(4^{n}+1)+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel(4^{n}-1)}
[/mm]
[mm] \gdw a_{n}= \bruch{ \limes_{n\rightarrow\infty}2^{n}2}{2\wurzel{4^n}} [/mm]
[mm] \gdw a_{n}=\bruch{ \limes_{n\rightarrow\infty}2^{n}2}{2*2^{n} }
[/mm]
Darft man hier kürzen, so dass man 1 als Grenzwert hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
> [mm]a_{n}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2^{n}2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel(4^{n}+1)+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel(4^{n}-1)}[/mm]
Die Anwendung der Grenzwertsätze gilt nur bei Existenz der entsprechenden Grenzwerte, was hier jeweils nicht gegeben ist.
Klammere im Nenner den Term [mm] $\wurzel{4^n} [/mm] \ = \ [mm] 2^n$ [/mm] aus und kürze.
Anschließend dann die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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