grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] f_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}} (a^{n}-b^{n}), a=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] b= [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Zeigen Sie dass [mm] \lim_{n\rightarrow\infty }\bruch{f_{n+1}}{f_{n}}= \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] |
Kann ich auch hier so wie folgt vorgehen?
Ich schaue ob die Folge konvergent ist (es handelt sich um die Fibonnacci-Folge) mit der Epsilonnäherung und setze für den Grenzwert [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] ein?
Wenn ich so vorgehe komme ich am Ende auf [mm] \bruch{b^{n}(a-b)}{a^{n}-b{n}} [/mm] < Epsilon.... nur weiß ich nicht wie ich da nach n umformen kann,
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Ich habe es auch noch anders versucht; [mm] f_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}} (a^{n}-b^{n}) [/mm] und entsprechend [mm] f_{n+1} [/mm] in [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{f_{n+1}}{f_{n}} [/mm] eingesetzt komme ich auf
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty } \bruch{a^{n}a-b^{n}b}{a^{n}-b^{n}}
[/mm]
ich sehe einfach nich wie man dass noch vereinfachen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
so eine ähnliche Aufgabe hatten wir auch letzes mal in der Übung.
Schreib mal [mm] f_{n+1}/f_{n} [/mm] hin.
Dann kannst du erstmal deine "Hochzahlen" aufteilen. Du hast da dann ja zwei Brüche im Zähler und zwei im Nenner. Dann teilst du die Hochzahlen einfach im Zähler auf die jeweilgen Zähler und Nenner auf, so dass du dann einmal [mm] (1+\sqrt{5})^{n+1} [/mm] und im Nenner dann [mm] 2^{n+1} [/mm] stehen hast.
Dann kannst du weiter aufteilen: Die zweien hauen sich dann größtenteils weg, und du kannst dann deine Wurzelsummannden auf einen Bruchstrich schreiben.
Dann etsilts du den Bruch auf, und guckst dann weiter.
Dann kannst du einmal ein [mm] (1+\sqrt{5}^n [/mm] ausklammern, was nicht so ganz offensichtlich ist, aber es haut dir dann im Zähler das entsprechende Weg, das selbe machst du mit dem anderen Bruch nur mit [mm] (1-\sqrt{5}).
[/mm]
Dann musst du nur gucken, was passiert, wenn eine Zahl die betragsmäüßig kleiner als 1 ist mit n potenziert wird, und n gegen unendlich läuft, und was mit einer Zahl passiert, die >1 ist.
Dann siehst du eg. schon den Grenzwert.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kreide |
danke erstamls für deine Antwort
mmhhh....ich hoffe mal, dass ihr dir richtig gefolgt habe... igendwan seht da:
[mm] \bruch{(1+\wurzel{5})^{n+1}-(1-\wurzel{5})^{n+1}) }{2(1+\wurzel{5})^{n}-2(1-\wurzel{5})^{n}}
[/mm]
und dann den Bruch aufspalten und [mm] (1+\wurzel{5})^{n} [/mm] bzw (1- [mm] \wurzel{5})^{n} [/mm] auklammern?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
Es gilt:
[mm] $$x^{n+1}-y^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (x-y)*\left(x^{n}+x^{n-1}*y+x^{n-2}*y^2+...+y^{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] (x-y)*\summe_{k=0}^{n}x^{n-k}*y^k$$
[/mm]
Damit sollte das Ausklammern klappen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kreide |
ich will doch aber ein [mm] (x^{n}-y^{n}) [/mm] ausklammern und nicht nur (x-y)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:15 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kreide!
> ich will doch aber ein [mm](x^{n}-y^{n})[/mm] ausklammern und nicht
> nur (x-y)
Das wird dir aber nicht gelingen mit [mm] $(x^n-y^n)$ [/mm] . Klammere halt jeweils $(x-y)_$ aus und wende o.g. Summendarstellung für den Restterm.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kreide |
> Hi,
>
> so eine ähnliche Aufgabe hatten wir auch letzes mal in der
> Übung.
>
> Schreib mal [mm]f_{n+1}/f_{n}[/mm] hin.
>
> Dann kannst du erstmal deine "Hochzahlen" aufteilen. Du
> hast da dann ja zwei Brüche im Zähler und zwei im Nenner.
> Dann teilst du die Hochzahlen einfach im Zähler auf die
> jeweilgen Zähler und Nenner auf, so dass du dann einmal
> [mm](1+\sqrt{5})^{n+1}[/mm] und im Nenner dann [mm]2^{n+1}[/mm] stehen hast.
>
> Dann kannst du weiter aufteilen: Die zweien hauen sich dann
> größtenteils weg, und du kannst dann deine Wurzelsummannden
> auf einen Bruchstrich schreiben.
>
> Dann etsilts du den Bruch auf, und guckst dann weiter.
>
> Dann kannst du einmal ein [mm](1+\sqrt{5}^n[/mm] ausklammern, was
> nicht so ganz offensichtlich ist,
ja nich so wirklich ;)
[mm] (1+\wurzel{5})^{n+1}-(1-\wurzel{5})^{n+1}, [/mm] da soll man nen [mm] 1+\sqrt{5}^n [/mm] auklammern können? .......mmmhhhhh
[mm] 1+\sqrt{5}^n (1+\sqrt{5} [/mm] - ?!?!?!??)
ich kann ja nicht einfach das minus in die Klammer ziehen [mm] -(1-\wurzel{5})^{n+1} [/mm] dann
[mm] (1+\wurzel{5})^{n+1} [/mm] schreiben, oder?
bzw ist der limes von [mm] \bruch{(1-\wurzel{5})^{n}}{(1+\wurzel{5})^{n}}=1
[/mm]
und [mm] \bruch{2(1-\wurzel{5})^{n+1}}{(1+\wurzel{5})^{n}}=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn das richtig ist musst du nur zeigen [mm] b^n [/mm] wird beliebig klein wegen |b|<1
$ [mm] \bruch{b^{n}(a-b)}{a^{n}-b{n}} [/mm] $ [mm] <\epsilon [/mm] wenn du das auch mit [mm] |b^n| [/mm] kannst
denn wegen a>1 [mm] a^n-b^n>1
[/mm]
folgt
$ [mm] \bruch{b^{n}(a-b)}{a^{n}-b{n}}
und du bist fertig. allerdings Vorsicht, da b<0.
Gruss leduart
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aber das stimmt doch nicht so ganz, oder? wenn ich das minus in die klammer ziehe habe ich doch [mm] -(1-\wurzel{5})^n=(-1+\wurzel{5})^n, [/mm] also steht da das - noch vor der 1..
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