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grenzwert: grenzwerte
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:15 Di 27.11.2007
Autor: Kreide

Aufgabe
bestimme den grenzwert der Folge, wenn die Folge konvergent sein sollte
[mm] x_{n}=\wurzel{x+1}-\wurzel{x} [/mm]

das kann ich mit hilfe der binomischen Formel auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}} [/mm] umformen... sieht nicht gerade viel schöner aus....
ich würde jetzt sagen, dass der Nenner gegen unendlcih läuft und damit der Grenzwert 0 ist.....?!?

_______________________________________________________
WEITERE FOLGEN

[mm] x_{n}=\bruch{1+2+..+n}{n+2}-\bruch{n}{2} [/mm]

hier habe ich die Folge umgeformt zu [mm] \bruch{(2+4+6+...+(2n-1))-n^{2}}{2n+4} [/mm]
hier würde der Grenzwert ja gegen [mm] -\infty [/mm] gehen, da [mm] n^{2} [/mm] am schnellsten wächst...
Folge müssen ja nach oben beschränkt sein, also ist diese Folge nicht konvergent oder?
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

[mm] x_{n}= \bruch{(2- 1 / \wurzel{n})^{10}-(1+ 1 / n^{2})^{10}}{1-1 / n^{2}-1 / \wurzel{n}} [/mm]

Den Grenzwert sieht man hier ja so gut wie sofort... 2^10-1^10
nur ob die Folge konvergent ist, kann ich nicht so wirklich zeigen
hab die Formel fleißig umgeformt...
[mm] x_{n}= \bruch{n^{15}(2 \wurzel{n} -1)^{10}-(n^{2}+1)^{10}}{n^{20}-n^{18}-n^{16} \wurzel{n}} [/mm] ...
so wirklich nach n umformen kann man da nicht... :(
Gibt es denn nicht noch andere Möglichkeiten zu zeigen, ob eine Folge konvergent ist, ohne das mit der Epsilonumgebung zu versuchen?

        
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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 27.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Kreide,


> bestimme den grenzwert der Folge, wenn die Folge konvergent
> sein sollte
>  [mm]x_{n}=\wurzel{x+1}-\wurzel{x}[/mm]

nicht eher [mm] $x_{\blue{n}}=\wurzel{\blue{n}+1}-\wurzel{\blue{n}}$ [/mm] ;-) -  spielt aber für dein Ergebnis keine Rolle

>  das kann ich mit hilfe der binomischen Formel auf
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}[/mm] [daumenhoch]                  > umformen... sieht nicht
> gerade viel schöner aus....

doch, ich finde schon

>  ich würde jetzt sagen, dass der Nenner gegen unendlcih
> läuft und damit der Grenzwert 0 ist.....?!? [daumenhoch]

Das ist wohl wahr!!

LG

schachuzipus


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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Di 27.11.2007
Autor: Kreide

;)

so, nun soll ja noch gezeigt werden, das die folge konvergent ist:

| [mm] \wurzel{x+1}- \wurzel{x}-0 [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm]
| [mm] \wurzel{x+1}- \wurzel{x}|< \varepsilon [/mm]
| [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}|< \varepsilon [/mm]

Da [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] Nullfolge ist ist auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}} [/mm] , also auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}} [/mm]

die folge ist also konvergent....

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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Di 27.11.2007
Autor: schachuzipus

Hi nochmal,

naah, wenn du das explizit mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zeigen sollst, musst du ja zu deinem beliebig vorgegeben [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] angeben, so dass dann für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|<\varepsilon$ [/mm]

Dazu ist deine Umformung aber sehr hilfreich:

Schätzen wir den Betrag mal in einer NR ab:

[mm] $|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|=\left|\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ [/mm] - denn es ist ja alles positiv

[mm] $<\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$ [/mm]

Nenner verkleinert --> Bruch vergrößert

[mm] $=\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{n}}\overset{!}{<}\varepsilon$ [/mm]

Das [mm] $\overset{!}{<}$ [/mm] bedeutet: "soll kleiner sein"

Das löse mal nach $n$ auf, dann kannst du dein $N$ bestimmen, so dass die obige Abschätzung für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt ...


LG

schachuzipus

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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Do 29.11.2007
Autor: Kreide

[mm]x_{n}=(-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm]

was ist denn mit dieser Folge?

einerseits denke ich sie konvergiert, da [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] gegen null konvergiert, also müsste ja [mm] (-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] gegen null gehen

andererseits ist [mm] (-1)^{n} [/mm]  divergent....
ich hab dann man das mit der Epsilonumgebungversucht, wobei ich 0 als Grenzwert angenommen habe... dann komme ich nach einppar Umformungen aus [mm] \bruch{(-1)^{n}}{2} [/mm] < epsilon
nach n kann ich ja nicht umformen, da ln(-1) nicht definiert ist.....

sieht jm meinen Denkfehler?!? ;)


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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Do 29.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Kreide!


> einerseits denke ich sie konvergiert, da [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm] gegen null konvergiert, also müsste
> ja [mm](-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm] gegen null  gehen

[notok] Betrachte zunächst [mm] $\wurzel{n}*\left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}\right)$ [/mm] . Diese Folge konvergiert gegen [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] (und nicht gegen 0).


Gruß vom
Roadrunner


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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 Do 29.11.2007
Autor: Dee260484

die Folge konvergiert gegen 0,5?? wie zeige ich das? ich bekomme das irgendwie nicht hin... :(

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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Do 29.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dee,

immer derselbe "Trick" ;-)

erweitere [mm] $\wurzel{n}\cdot{}\left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}\right) [/mm] $ mit [mm] $\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}$ [/mm]

Dann erhätst du im Zähler die 3.binomische Formel:

[mm] $\sqrt{n}\cdot{}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n}}$ [/mm]

Nun den Nenner noch etwas weiter umformen und [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern.

Dann siehtst du's ;-)


Gruß

schachuzipus



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grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Do 29.11.2007
Autor: Dee260484

vielen dank! :)

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grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Do 29.11.2007
Autor: bonni

hallo

kann mir jemand helfen?

Ich sehe bei der 1.a.) kein binom!

ich verstehe nicht warum
[mm]x_{n}=\wurzel{x+1}-\wurzel{x}[/mm]
ein binom ist?!?
und wie kommt man dann darauf:

> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}[/mm]

lg

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grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Do 29.11.2007
Autor: schachuzipus

Hi bonni,

schlichte Erweiterung mit [mm] $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ [/mm]

Also


[mm] $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\cdot{}\blue{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}}{\blue{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$ [/mm]


Gruß

schachuzipus

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grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Do 29.11.2007
Autor: bonni

ok, vielen dank!!

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