gradient, divergenz, rotation < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Skalar- und Vektorfelder:
f(x,y,z) = - [mm] \bruch{GM}{r} [/mm] mit r= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
F (x,y,z) = [mm] \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}
[/mm]
Berechnen Sie
a) grad f,
b) div(gradf) für (x,y,z) [mm] \not= [/mm] (0,0,0),
c) div F,
d) rot F. |
hallo
also ich war krank, als wir das thema durchgenommen haben aber ich hab etwas probiert und bin mir überhaupt nicht sicher dabei, weil ich es eigentlich gar nicht verstanden habe. ich dachte mir einfach: probieren schadet nicht.
Meine Lösungen:
a) grad f = [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \* (\wurzel{x^2+y^2+z^2})
[/mm]
b) div(gradf) = [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \* [/mm] grad f
c) div F = [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \* \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}
[/mm]
d) rot F = [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} [/mm] x [mm] \* \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}
[/mm]
Würde das jetzt mal für den Anfang stimmen??? hab es noch nicht ausgerechnet, weil ich mir erst sicher gehen wollte.
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Hi,
das stimmt, wenn du mit "*" das "üblische" Skalarprodukt und mit "x*" das Krauzprodukt meinst.
Ausser bei der a), da rechnest du praktisch einen "Vektor" (gradient) mal einen "Skalar" (Funktionsterm).
Zur Überprüfung:
Bei a) muss ein Vektor,
bei b) ein Skalar,
bei c) ein Skalar und
bei d) ein Vektor rauskommen.
Damit meine ich vektor-/skalarwertige Funktionen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
super danke...
freut mich das ich etwas verstanden habe..
jetzt hätte ich nochmal ne frage:
ich muss noch bei allen die partielle Ableitung rechnen. kannst du mir erkären wie ich bei der c)und d) rechne??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> super danke...
>
> freut mich das ich etwas verstanden habe..
>
> jetzt hätte ich nochmal ne frage:
>
> ich muss noch bei allen die partielle Ableitung rechnen.
> kannst du mir erkären wie ich bei der c)und d) rechne??
behandle Ausdrücke wie [mm] $\frac{\partial}{\partial x}$ [/mm] wie ganz normale Werte und dann rechne einfach das Skalar-/Kreuzprodukt aus und bilde die Ableitungen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
ok also dann, hier meine lösungen:
hoffentlich sind sie richtig :)
a) [mm] \vektor{ 2x \\ 2y \\ 2z }
[/mm]
b) 6
c) 4
d) [mm] \vektor{2-2z \\ 2-(2x-2) \\ 2-2y}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Ich muss Dich leider enttäuschen, alle Ergebnisse sind falsch. Wie bist Du denn auf die Lösungen gekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
ach manno :(
also ich hab bei a) einfach abgeleitet
b) hab ich das abgeleitete von a genommen und hab es wieder abgeleitet
c) hab ich bei partieller ableitung von x nur x abgeleitet und hab die anderen ignoriert (bei y nur y und bei z genauso)
d) war es komplizierter da bin ich vorgegangen wie bei der determinanten nur das ich halt abgeleitet habe
das sah alles so richtig aus aber ich hab ja gesagt, dass ich krank war und überhaupt keine ahnung habe...voll aufgeschmissen:(
du kannst mir doch bestimmt helfen ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Ich meinte eigentlich nicht, dass Du mir beschreiben sollst wie Du es gemacht hast, sondern dass Du Deinen Rechnenweg zeigen sollst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
a) [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}}(\wurzel{x^2+y^2+z^2})
[/mm]
hier hab ich die wurzel vergessen vorhin!! aber dann kam raus weil ich nach x nach y und nach z abgeleitet habe: (2x 2y [mm] 2z)^T [/mm] raus.
b) [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \vektor{2x \\ 2y\\ 2z}
[/mm]
= 2+2+2=6
c) [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}
[/mm]
=2+2+0=4 ( 0 weil [mm] \partial [/mm] z gibt es in [mm] x^2+2yx [/mm] nicht)
d) [mm] \vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} [/mm] X [mm] \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}
[/mm]
= [mm] \vektor{2-2z \\ 2-2x+2 \\ 2-2y}
[/mm]
die erste zeile : [mm] \bruch{\partial}{\partial y}*(x^2+2yx) [/mm] - [mm] \bruch{\partial}{\partial z}*(z^2+2xy)
[/mm]
die zweite Zeile: [mm] \bruch{\partial}{\partial z}*(y^2+2xz) [/mm] - [mm] \bruch{\partial}{\partial x}*(x^2+2yx)
[/mm]
die dritte Zeile: [mm] \bruch{\partial}{\partial x}*(z^2+2xy) [/mm] - [mm] \bruch{\partial}{\partial z}*(y^2+2xz)
[/mm]
irgendwie komisch?!?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
> a) [mm]\vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}}(\wurzel{x^2+y^2+z^2})[/mm]
Hier soll der Gradient von $f$ berechnet werden und nicht der von $r$. Schau nochmal nach, was f ist.
>
> hier hab ich die wurzel vergessen vorhin!! aber dann kam
> raus weil ich nach x nach y und nach z abgeleitet habe: (2x
> 2y [mm]2z)^T[/mm] raus.
Davon abgesehen ist mir schleierhaft wie Du auf das Ergebnis kommst. Wenn ich mal die erste Komponente von dem was Du hingeschrieben hast berechne, komme ich auf:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{r}$
[/mm]
>
> b) [mm]\vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \vektor{2x \\ 2y\\ 2z}[/mm]
>
> = 2+2+2=6
das kann ja nicht stimmen, wenn a) nicht stimmt
>
> c) [mm]\vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}} \vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}[/mm]
>
> =2+2+0=4 ( 0 weil [mm]\partial[/mm] z gibt es in [mm]x^2+2yx[/mm] nicht)
der erste Summand wäre:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}+2xz)=2z$
[/mm]
>
> d) [mm]\vektor{ \bruch{\partial}{\partial x }\\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}}[/mm]
> X [mm]\vektor{y^2+2xz \\ z^2+2xy \\ x^2+2yx}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{2-2z \\ 2-2x+2 \\ 2-2y}[/mm]
>
> die erste zeile : [mm]\bruch{\partial}{\partial y}*(x^2+2yx)[/mm] -
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}*(z^2+2xy)[/mm]
hier ist Dir der gleiche Fehler wie bei c) passiert. $2yx$ nach y abgeleitet ist nicht 2.
> die zweite
> Zeile: [mm]\bruch{\partial}{\partial z}*(y^2+2xz)[/mm] -
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}*(x^2+2yx)[/mm]
> die dritte
> Zeile: [mm]\bruch{\partial}{\partial x}*(z^2+2xy)[/mm] -
> [mm]\bruch{\partial}{\partial z}*(y^2+2xz)[/mm]
>
> irgendwie komisch?!?!?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 01.02.2011 | | Autor: | emulb |
ok also c) und d) hab ich hinbekommen aber bei steh ich immernoch auf dem schlauch..
wenn ich immer nach einander die partielle ableitung mache also nach x nach y und dann nach z.
kommt da dann nicht (y+z x+z [mm] x+y)^T [/mm] raus???
bei b) kommt da doch dann 0 raus???
ach ich weiß nicht mein kopf will nicht mehr....
aber danke bist echt geduldig :))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
> ok also c) und d) hab ich hinbekommen aber bei steh ich
> immernoch auf dem schlauch..
ich nehme an, Du meinst a)
>
> wenn ich immer nach einander die partielle ableitung mache
> also nach x nach y und dann nach z.
>
> kommt da dann nicht (y+z x+z [mm]x+y)^T[/mm] raus???
nein, rechne doch bitte mal:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{GM}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)$
[/mm]
aus und poste es hier
>
> bei b) kommt da doch dann 0 raus???
immer noch nicht. Wie willst Du auch b) berechnen wenn Du dazu a) brauchst (was Du noch nicht hast)?
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> ach ich weiß nicht mein kopf will nicht mehr....
Entspann Dich mal ne halbe Stunde, dann sieht die Welt schon wieder ganz anders aus. Bzw. mach morgen weiter.
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> aber danke bist echt geduldig :))
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