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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - gradient
gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mi 28.05.2008
Autor: AriR

hey leute,

kann mir vllt einer von euch sagen, was genau damit gemeint ist, dass der gradient einer funktion immer in die richtung des stärksten anstiegs zeigt? irgendwie kann ich mir darunter nicht wirklich was vorstellen :(

gruß
        
Bezug
gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mi 28.05.2008
Autor: fred97

Sei f eine Funktion von zwei Veränderlichen, also definiert auf einer (offenen)
Teilmenge des [mm] R^2. [/mm]
Den Graph von f kannst Du dir vorstellen als eine Fläche im [mm] R^3 [/mm] (falls f "gutartig").

Nun stelle Dir vor , Du würdest auf einem Punkt f(x,y) dieser Fläche stehen, Du schaust Dich um und willst wissen, in welcher Richtung geht es am steilsten weiter. Antwort: in Richtung gradf(x,y).
An den Punkt (x,y) im Def,.bereich von f heftest Du diesen Vektor an. Längs diese Vektors ist der steilste Anstieg.

Stichwort: Richtungsableitung

FRED
Bezug
                
Bezug
gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Mi 28.05.2008
Autor: AriR

ist das so offensichtlich, dass der gradient gerade die richtung des stärksten anstiegs angibt und kein anderer vektor?
Bezug
                        
Bezug
gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Mi 28.05.2008
Autor: fred97

Offensichtlich ist das nicht.
man kann zeigen: unter allen Richtungsableitungen in einem gegebenen Punkt ist die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten die größte.

Beweise hiefür findest Du in jedem Analysisbuch,
vielleicht habt Ihr das auch schon in der Vorlesung gemacht ?

FRED
Bezug
                                
Bezug
gradient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Mi 28.05.2008
Autor: AriR

einen beweis kann ich wohl finden, der ist aber nicht sehr anschaulich.. bei solchen sachen kann man sich das meist auch ohne beweis graphisch veranschaulichen, nur komme ich gerade nicht drauf wie.. dachte vllt hat jemand von euch einen tip :P
Bezug
                                        
Bezug
gradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mi 28.05.2008
Autor: fred97

Beweise sind eben nicht immer anschaulich


FRED
Bezug
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