grade durch zwei Punkte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 So 31.10.2004 | | Autor: | Darker |
hi,
habe folgende aufgabe: Gegeben sind zwei Punkte [mm] (x_{1},y_{1}) [/mm] und [mm] (x_{2},y_{2}) [/mm] in der Ebene [mm] (\IR^{2}). [/mm] Gesucht ist die Grade f(x)=a+bx, [mm] x\in \IR [/mm] die durch die beiden Punkte führt. Es soll also gelten:
[mm] f(x_{1})=a+bx_{1} [/mm] = [mm] y_{1}
[/mm]
[mm] f(x_{2})=a+bx_{2} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
a) finden sie eine allgemein gültige Formel für a und b.
b) Welchen Einschränkungen unterliegt die Wahl der Punkte [mm] (x_{1},y_{1}) [/mm] und [mm] (x_{2},y_{2})
[/mm]
zu a) die steigung b kann ich ja bestimmten: [mm] \bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
[/mm]
nur wie bekomme ich das a? das müsste ja dem f(0) entsprechen, also dem schnittpunkt der y-achse...
zu b)
wenn ich mir die "steigungsformel" angucken dann dürfte sie nur für die den fall [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] nicht funktionieren, da division durch null. stimmt das?
cu Darker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 So 31.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Darker!
> zu a) die steigung b kann ich ja bestimmten:
> [mm]\bruch{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}[/mm]
Richtig!
> nur wie bekomme ich das a? das müsste ja dem f(0)
> entsprechen, also dem schnittpunkt der y-achse...
Du hast doch zwei Gleichungen:
f(x1) = y1 und f(x2) = y2
In beiden Gleichungen ist a die einzige Unbekannte. Also setze einfach dein Ergebnis für b in eine der Gleichungen ein und ermittle a!
> zu b)
> wenn ich mir die "steigungsformel" angucken dann dürfte
> sie nur für die den fall [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] nicht funktionieren,
> da division durch null. stimmt das?
Richtig!
Wir können aber noch weiter differenzieren:
Wenn x1 = x2 und y1 = y2, dann gibt es unendlich viele Geraden, die die beiden Punkte enthalten.
Wenn x1 = x2 und y1 [mm] \not= [/mm] y2, dann gibt es keine Gerade der Form y = bx +a, die die beiden Punkte enthält. (Sondern nur die Gerade x = x1)
Ansonsten gibt es genau eine Gerade (die du in a) ermittelt hast), die beide Punkte enthält.
Liebe Grüße
Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 31.10.2004 | | Autor: | Darker |
hi, irgendwie bekomme ich das auflösen von a nicht richtig hin,
eingesetzt sollte das ja dann :
[mm] f(x_{1})=a+ \bruch{y_{2}-y_{1}}{ x_{2}-x_{1}}*x_{1}=y_{1}
[/mm]
sein nur wir forme ich das nach a um?
einfach
[mm] a=y_{1}-(\bruch{y_{2}-y_{1}}{ x_{2}-x_{1}}*x_{1})?
[/mm]
und ist das dann die allgemein gültige formel für a?
cu
Darker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Di 02.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Darker,
>
> einfach
> [mm]a=y_{1}-(\bruch{y_{2}-y_{1}}{ x_{2}-x_{1}}*x_{1})?
[/mm]
>
> und ist das dann die allgemein gültige formel für a?
>
Richtig !!!
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