globales Max. von f: R² -> R < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
also, wir haben unter anderem diese Woche eine Aufgabe, in der wir das globale Maximum einer Funktion bestimmen sollen. Leider weiß ich nicht so recht, wie ich da rangehen könnte. Hier erst einmal die Aufgabenstellung:
sei f: X [mm] \mapsto \IR^{2}
[/mm]
f(x, y) = [mm] 4*x^{2} [/mm] - 3*x*y
X = [mm] \{(x, y) \in \IR^{2} | |x| + |y| \le 1 \} [/mm] (bzw. Einsnorm kleinergleich 1)
Heißt also, x und y sind jeweils größergleich null und kleinergleich 1, und beide zusammen nicht größer als 1.
Meine erste Idee war, z.B. y durch x zu beschreiben. Das hättte ich dann ableiten und null setzen können, also einfach das Maximum bestimmen. Leider wüsste ich das y aber nur so
|y| [mm] \le [/mm] 1 - |x|
zu beschreiben, und das scheint mich irgendwie nicht weiterzubringen.
Gibt es einen Weg, den man bei solchen Maximumsbestimmungen erstmal versucht, zu beschreiten? Oder eine gute strategie? Ich wäre für einen Tipp dankbar.
Dies ist meine erste Frage hier, ich hoffe, ich habe alles beachtet. Ich bin zwar schon in vielen Foren unterwegs gewesen, aber ein neues Forum zu betreten ist für mich jedes mal wieder ein wenig, als würde ich eine fremde Wohnung betreten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG, Tim
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Hallo,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> sei f: X [mm]\mapsto \IR^{2}[/mm]
> f(x, y) = [mm]4*x^{2}[/mm] - 3*x*y
> X = [mm]\{(x, y) \in \IR^{2} | |x| + |y| \le 1 \}[/mm] (bzw.
> Einsnorm kleinergleich 1)
>
> Heißt also, x und y sind jeweils größergleich null und
> kleinergleich 1, und beide zusammen nicht größer als 1.
>
> Meine erste Idee war, z.B. y durch x zu beschreiben. Das
> hättte ich dann ableiten und null setzen können, also
> einfach das Maximum bestimmen. Leider wüsste ich das y aber
> nur so
> |y| [mm]\le[/mm] 1 - |x|
> zu beschreiben, und das scheint mich irgendwie nicht
> weiterzubringen.
>
> Gibt es einen Weg, den man bei solchen Maximumsbestimmungen
> erstmal versucht, zu beschreiten? Oder eine gute strategie?
> Ich wäre für einen Tipp dankbar.
Zunächst einmal würde ich die lokalen Extremwerte der Funktion bestimmen mit der Standardstrategie. Stichwort: grad f =0 und Hessematrix. Denn davon könnten ja welche im interessierenden Bereich liegen.
Für die lokalen Extremwerte muß man sich dann noch die Funktion auf dem Rand des Gebietes anschauen, den Bereich, in welchem |y| =1 - |x|.
Wie sieht denn dieser Bereich aus?
Mal ihn Dir einmal auf. Dann siehst Du, daß Du vier Teilbereiche untersuchen mußt.
Zum Schluß mußt Du Dir noch die Werte an den Ecken des Gebietes anschauen, es könnte sein, daß Die Werte hier größer oder Kleiner sind als alles, was bisher da war.
Gruß v. Angela
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