globaler diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
hallo hab einfache nur ne frage!
ich versuch vergeblich seit stunden nach einer VERSTÄNDLICHEN defiition für den globalen diffeomorphismus zu finden der mir bei meiner aufgabe helfen könnte!sitze einfach nur vor der aufgabe und weiß echt nicht weiter weil ich nicht weiß was der globale diffeomorphismus ist!würde mich riesig freuen wenn ihr mir doch weiter helfen könntet!
LG
nimet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Kannst du uns bitte noch sagen, worauf sich diese Frage bezieht? Oder uns die Definition nennen, die du nicht verstehst und was du nicht verstehst?
Zum Beispiel: ist dir klar, was ein lokaler Diffeomorphismus ist?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
ja der lokale diffeomorphismus ist mir klar!
ich muss diese Aufgabe lösen:
Für r [mm] \in \IR [/mm] und X:= [mm] \IR^N [/mm] \ {0} definieren wir
[mm] f_{r} [/mm] : X [mm] \to [/mm] X x [mm] \mapsto |x|^r \* [/mm] x.
Für welche r [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f_{r} [/mm] ein globaler Diffeomorphismus? Berechnen Sie im positiven Fall die Ableitung g'(y) der Umkehrfunktion [mm] g:=(f_{r})^{-1}.
[/mm]
Komme hier nicht weiter!
Ich weiß zwar, dass wenn f injektiv ist, f dann ein globaler Diffeomorphismusn zwischen X und f(X) ist.
Aber wie zeige ich hier die Injektivität für f????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> ja der lokale diffeomorphismus ist mir klar!
>
> ich muss diese Aufgabe lösen:
>
> Für r [mm]\in \IR[/mm] und X:= [mm]\IR^N[/mm] \ {0} definieren wir
>
> [mm]f_{r}[/mm] : X [mm]\to[/mm] X x [mm]\mapsto |x|^r \*[/mm] x.
>
> Für welche r [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f_{r}[/mm] ein globaler
> Diffeomorphismus? Berechnen Sie im positiven Fall die
> Ableitung g'(y) der Umkehrfunktion [mm]g:=(f_{r})^{-1}.[/mm]
>
> Komme hier nicht weiter!
> Ich weiß zwar, dass wenn f injektiv ist, f dann ein
> globaler Diffeomorphismusn zwischen X und f(X) ist.
> Aber wie zeige ich hier die Injektivität für f????
Bijektiv muss f sein. Ist f für alle r surjektiv?
Mach's doch zu Fuß: f ist injektiv, wenn aus $f(a) = f(b)$ zwingend $a=b$ folgt. Setze deine Definition von f ein:
[mm] f(a) = f(b) \gdw |a|^r *a = |b|^r * b [/mm]
Kann diese Gleichung gelten, wenn [mm] $a\not=b$? [/mm] Besser gesagt: gibt es Werte von r, für die [mm] $a\not=B$ [/mm] möglich ist?
Eventuell hilft auch die Anschauung: die Abbildung f staucht oder streckt den Vektor x (außer für r=0, da ist f die Identität); die Richtung ändert sich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
nein mir fällt kein wert für r ein für das es nicht gehen sollte!oder gibt es doch einen wert???also mir fällt keiner implizit ein!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
Ich finde ![[]](/images/popup.gif) diese Definition sehr nützlich:
Ein globaler Diffeomorphismus ist eine Abbildung f, die in jedem Punkt ein lokaler Diffeomorphismus ist, und wenn eine globale Umkehrabbildung existiert, die die Eigenschaften eines Diffeomorphismus besitzt.
Anders formuliert: ein globaler Diffeomorphismus [mm] $f:X\to [/mm] Y$ ist immer eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung auf ganz X, sodass [mm] $f^{-1}$ [/mm] eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung auf ganz Y ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
danke für die definition ;)
also wie oben schon gesagt fällt mir kein wert ein für welches es nicht gehen sollte!
schreibe es hier nochmal auf weil ich oben den falschen status habe ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> also wie oben schon gesagt fällt mir kein wert ein für
> welches es nicht gehen sollte!
Doch, es gibt einen. Berechne doch mal die Länge von $f(x)$, also
[mm] \bigl| |x|^r * x \bigr|[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
also weiß, dass [mm] |x|=(\summe_{n=1}^{N} x_{n} ^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
und das soll ich dann zweimal anwenden oder wie habe ich es zu verstehen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> also weiß, dass [mm]|x|=(\summe_{n=1}^{N} x_{n} ^2)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> und das soll ich dann zweimal anwenden oder wie habe ich es
> zu verstehen???
Du kannst benutzen, dass du einen Vorfaktor herausziehen kannst:
[mm] $|a\cdot [/mm] x| = a * |x|$ für [mm] $a\in\IR^+$.
[/mm]
Also ist:
[mm] $\bigl| |x|^r [/mm] * x [mm] \bigl| [/mm] = [mm] |x|^r [/mm] * |x| = [mm] \dots$
[/mm]
Für welches r passiert hier was Neues?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
ich würde jetzt spontan sagen, dass mein [mm] r=\bruch{1}{2} [/mm] ist, da dann der ganze ausdruck eins wäre!aber weiß nciht ob es stimmt und was ich dadurch habe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> ich würde jetzt spontan sagen, dass mein [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm]
> ist, da dann der ganze ausdruck eins wäre!aber weiß nciht
> ob es stimmt und was ich dadurch habe!
"Der ganze Ausdruck eins" ist der richtige Hinweis, nur ist das nicht für [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm] der Fall, da solltest du nochmal rechnen.
Wenn also der Betrag von $f(x)$ immer 1 ist, kann diese Funktion dann bijektiv sein?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
ooo ja stimmt der ausdruck wird dann nicht eins sondern die wurzel fällt nur weg!
es wird eins für r=-2, denn dadurch fällt die die eine summe in den nenner und kürzt sich somit komplett mit der summe im zähler!oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> ooo ja stimmt der ausdruck wird dann nicht eins sondern die
> wurzel fällt nur weg!
> es wird eins für r=-2, denn dadurch fällt die die eine
> summe in den nenner und kürzt sich somit komplett mit der
> summe im zähler!oder???
Nein. Schaumal:
[mm] \bigl| |x|^r*x\bigr| = |x|^r*|x| = |x|^{r+1} [/mm]
Das wird 1 für $r+1=0$.
Was bedeutet das für deine Abbildung f?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Mi 25.06.2008 | | Autor: | nimet |
ja stimmt!Ist mir auch später aufgefallen, dass es für r=-1 gilt!
Wenn mein Ausdruck eins ist heißt das jetzt was für mich???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 25.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
kann für r=-1 deine Abbildung f injektiv sein? Vergleiche f(x) und f(2x)!
Viele Grüße
Rainer
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