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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Di 17.02.2015 | | Autor: | Aladdin |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
$ [mm] f(x,y)=y^2+5x^2-6y+10x+6 [/mm] $
Handelt es sich dabei um globale Extremstellen? |
Hallo
ich habe die ersten Ableitungen gebildet und die Hesse Matrix.
[mm] $\bruch{df}{dx}=10x+10$
[/mm]
[mm] $\bruch{df}{dy}= [/mm] 2y-6$
die soll ja gleich 0 sein: $10x+10=0$ daraus folgt $x=-1$ und $2y-6=0$ daraus folgt $y=3$
[mm] $\bruch{df}{d^2x}=10$ [/mm] und [mm] $\bruch{df}{d^2y}=2$ [/mm] und [mm] $\bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}=0$
[/mm]
nun die Hesse-Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
die Eigenwerte sind pos daraus folgt Tiefpunkt bei (1,-3) nun kommt meine Frage.
Handelt es sich dabei um globale Extremstellen?
ich habe bis jetzt ja nur gerechnet, aber was muss ich nun tun um zu sagen, dass es eine globale Extremstelle ist und keine lokale?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Di 17.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
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> [mm]f(x,y)=y^2+5x^2-6y+10x+6[/mm]
>
> Handelt es sich dabei um globale Extremstellen?
> Hallo
> ich habe die ersten Ableitungen gebildet und die Hesse
> Matrix.
> [mm]\bruch{df}{dx}=10x+10[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}= 2y-6[/mm]
>
> die soll ja gleich 0 sein: [mm]10x+10=0[/mm] daraus folgt [mm]x=-1[/mm] und
> [mm]2y-6=0[/mm] daraus folgt [mm]y=3[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{d^2x}=10[/mm] und [mm]\bruch{df}{d^2y}=2[/mm] und
> [mm]\bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}=0[/mm]
>
> nun die Hesse-Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> die Eigenwerte sind pos daraus folgt Tiefpunkt bei (1,-3)
Das sieht doch soweit gut aus.
> nun kommt meine Frage.
>
> Handelt es sich dabei um globale Extremstellen?
>
> ich habe bis jetzt ja nur gerechnet, aber was muss ich nun
> tun um zu sagen, dass es eine globale Extremstelle ist und
> keine lokale?
Betrachte noch das Grenzverhalten von f(x,y).
Da f(x,y) keine Definitionslücken hat, reicht es hier, das Verhalten "im Unendlichen" zu betrachten.
Bekommst du dabei irgendwo [mm] \lim\limits_{\ldots}f(x,y)=-\infty [/mm] heraus, ist dieser Wert ja kleiner als f(1,3), es ist also ein lokaler Tiefpunkt. Sind aber alle Grenzwerte positiv, ist es ein globaler Tiefpunkt.
Mit anderen Worten. Berechne den Wertebereich, um zu entscheiden, ob es ein globales Minimum gibt.
Nehmen wir mal ein etwas einfacheres Beispiel:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] hat ja den Tiefpunkt T(0|0). Da aber sowohl [mm] \lim\limits_{x\to\infty}x^{2}=\infty [/mm] als auch [mm] \lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}=\infty [/mm] gilt, ist T ein Lokaler Tiefpunkt.
Noch nen Beispiel:
[mm] f(x)=x^{3}-x^{2}
[/mm]
Diese Funktion hat einen lokalen Hoch- und einen lokalen Tiefpunkt. Aber, da [mm] \lim\limits_{x\to\infty}x^{2}=\infty [/mm] und [mm] \lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}=-\infty [/mm] gilt, ist der Wertebereich hier komplett [mm] \IR [/mm] und damit kann es kein globales Minimum/Maximum geben.
>
> LG
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 17.02.2015 | | Autor: | Aladdin |
Danke für deine Antwort.
D.h wenn ich nun bei meiner Aufgabe den Limes berechne von x,y gegen plus unendlich bzw. x,y gegen -unendlich.
da bekomme ich nun auf die schnelle bei beidem plus unendlich raus.
Also habe ich dort einen globalen Tiefpunkt?
LG
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Hiho,
> Danke für deine Antwort.
>
> D.h wenn ich nun bei meiner Aufgabe den Limes berechne von
> x,y gegen plus unendlich bzw. x,y gegen -unendlich.
du solltest natürlich auch die Kombinationen [mm] \pm [/mm] bzw [mm] \mp [/mm] untersuchen.
Gruß,
Gono
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Hiho,
eine alternative Lösung: Schau dir die Hesse-Matrix mal genau an, was weißt du über die Konvexität/Konkavität der Funktion?
Was weißt du über lokale Extrema von streng konvexen/konkaven Funktionen?
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 17.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
>
> [mm]f(x,y)=y^2+5x^2-6y+10x+6[/mm]
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> Handelt es sich dabei um globale Extremstellen?
> Hallo
> ich habe die ersten Ableitungen gebildet und die Hesse
> Matrix.
> [mm]\bruch{df}{dx}=10x+10[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}= 2y-6[/mm]
>
> die soll ja gleich 0 sein: [mm]10x+10=0[/mm] daraus folgt [mm]x=-1[/mm] und
> [mm]2y-6=0[/mm] daraus folgt [mm]y=3[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{d^2x}=10[/mm] und [mm]\bruch{df}{d^2y}=2[/mm] und
> [mm]\bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}=0[/mm]
>
> nun die Hesse-Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> die Eigenwerte sind pos daraus folgt Tiefpunkt bei (1,-3)
Du meinst sicher (-1,3)
> nun kommt meine Frage.
>
> Handelt es sich dabei um globale Extremstellen?
>
> ich habe bis jetzt ja nur gerechnet, aber was muss ich nun
> tun um zu sagen, dass es eine globale Extremstelle ist und
> keine lokale?
Quadratische Ergänzung liefert
[mm] f(x,y)=(y-3)^2+5(x+1)^2-8.
[/mm]
Nun sollte klar sein, dass f in (-1,3) ein globales Minimum hat.
FRED
>
> LG
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