glm/pkt. Beschränktheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 08.12.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Ich tue mich ein wenig schwer damit diese zwei Definitionen richtig anzuwenden.
Wenn ich eine Familie $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ von Funktionen $ [mm] f_i [/mm] $ habe, dann ist sie pkt. beschränkt, wenn
$ [mm] |f_i(x)| \le [/mm] M(x) [mm] \forall f_i [/mm] $
und sie heisst glm. beschränkt, wenn
$ [mm] |f_i(x)| \le [/mm] M [mm] \forall f_i [/mm] $ und $ [mm] \forall [/mm] x $.
Soweit so gut. Nun aber zu meiner Frage, wenn ich jetzt ein Martingal $ [mm] X=(X_i)_{i\in I} [/mm] $ habe, dass ist ja eine Familie von messbaren Funktionen. Dann heisst das Martingal quadratisch integrierbar, wenn
$ [mm] E(X_i^2) [/mm] < [mm] \infty \forall i\in [/mm] I $
kann man dann Aussagen machen, wie
$ [mm] sup_i E(X_i^2) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ ?
also würde oben gelten:
$ [mm] sup_i |f_i(x) [/mm] | < [mm] \infty [/mm] $
dankö für die Hilfe!
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] E(X_i^2) [/mm] < [mm] \infty \forall i\in [/mm] I $
[mm] $E(X_i^2)$ [/mm] ist eine (nichtnegative) reelle Zahl.
Deine Frage ist also:
"Wenn ich eine Folge [mm] $(a_i)_{i\in \IN}$, $a_i\in\IR^+$, [/mm] habe mit [mm] $a_i<\infty$, [/mm] gilt dann
[mm] $\sup_i a_i <\infty$ [/mm] ?"
Und das ist klarerweise falsch. (Bsp?)
> also würde oben gelten:
> $ [mm] sup_i |f_i(x) [/mm] | < [mm] \infty [/mm] $
Mir ist nicht so ganz klar, wie Du das eine mit dem anderen in Zusammenhang bringst. Insbesondere, wie Du auf den Schluß kommst.
Aber wenn wir mal ein x nehmen, dann ist die Aussage von
>$ [mm] |f_i(x)| \le [/mm] M(x)\ [mm] \forall f_i [/mm] $
ja:
"Wenn ich eine Folge [mm] $(a_i)_{i\in \IN}$, $a_i\in\IR^+$, [/mm] habe mit [mm] $a_i
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 08.12.2011 | | Autor: | hula |
> Hi,
>
> > [mm]E(X_i^2) < \infty \forall i\in I[/mm]
>
> [mm]E(X_i^2)[/mm] ist eine (nichtnegative) reelle Zahl.
>
> Deine Frage ist also:
>
> "Wenn ich eine Folge [mm](a_i)_{i\in \IN}[/mm], [mm]a_i\in\IR^+[/mm], habe
> mit [mm]a_i<\infty[/mm], gilt dann
> [mm]\sup_i a_i <\infty[/mm] ?"
>
> Und das ist klarerweise falsch. (Bsp?)
>
>
Ja, das hätte man auch einfacher formulieren können. Kannst du mir ein Bsp. nennen? hätte da $ [mm] a_i [/mm] = i $ gedacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ja, das hätte man auch einfacher formulieren können.
Nö, die Frage ist durchaus berechtigt. Es geht nur darum, daß man es eben einfacher formulieren kann, und da sofort klar ist, daß es falsch ist.
> Kannst du mir ein Bsp. nennen? hätte da $ [mm] a_i [/mm] = i $ gedacht.
Ja.
Jede beliebige divergierende Folge in [mm] $\IR$ [/mm] funktioniert.
Mein Punkt ist der:
[mm] $E(X_i^2)$ [/mm] könnte unendlich sein, also ist [mm] $E(X_i^2)<\infty$ [/mm] sehr wohl eine wichtige Erkenntnis, und eine nichttriviale Aussage.
Nur ist [mm] $\sup_i E(X_i^2)<\infty$ [/mm] eben eine viel stärkere Aussage.
Niemand käme auf die Idee zu sagen,
1,2,3,4,5,...
"hmm, jedes Folgenglied ist endlich, also muß das Teil ein endliches Supremum haben"
Aber der Erwartungswert vertuscht, daß da im Prinzip was sehr einfaches steht. =)
ciao
Stefan
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