glm. konvergenz von fktfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+n^2x^2}$ [/mm] auf $[-a,a], a>0$
Ist [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig konvergent? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So... also:
Ich sehe hier grundsätzlich nur die Anwendung der Definition, als Abschätzung von
[mm] $|f_n [/mm] - f|$
Dabei komme ich aber nicht richtig weiter, wobei ich ein grundsätzliches Problem habe. Ich weiss nämlich nicht, wie ich damit auf eine nichtgleichmäßige Konvergenz schließen kann.
Meine Abschätzung (erster und letzter Schritt):
[mm] $|f_n [/mm] - f| = [mm] |\bruch{x}{1+n^2x^2} [/mm] |<= [mm] |\bruch{1}{n^2x}| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
daraus würde natürlich sofort ein Widerspruch folgen bei $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$.
Wäre ein schönes Ergebnis, allerdings habe ich ja abgeschätzt also ist nichts bewiesen.
Meine Frage lautet daher: Wie ist die Lösung dieser speziellen Funktionsfolge und wie geht man da grundsätzlich heran?
Danke
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Hallo!
Versuch doch mal, analytisch an die Sache heranzugehen:
Schließlich bedeutet gleichmäßige Konvergenz, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[-a;a]}\{|f(x)-f_n(x)|\}=0$.
[/mm]
Da [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\bruch x{1+n^2+x^2}\right|=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in[-a;a]$, [/mm] ist der punktweise Limes von [mm] $f_n$ [/mm] gerade die Nullfunktion. Du musst also zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[-a;a]}\{|f_n(x)|\}=0$.
[/mm]
Das Supremum dieser Funktionen kannst du aber durch Ableiten herausfinden:
[mm] $f_n'(x)=\bruch{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}$.
[/mm]
Hiermit kannst du das Supremum von [mm] $|f_n(x)|$ [/mm] berechnen - und die Frage beantworten, ob dieses Supremum gegen $0$ geht.
Gruß, banachella
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