glm. Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für eine Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] mit D [mm] \subset \IR^n [/mm] gelte |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x,y [mm] \in [/mm] D und einer Konstanten [mm] L\ge [/mm] 0. Zeige: f ist gleichmäßig stetig. |
Hey,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Ich kann ja durch |x-y| teilen. Dann habe ich [mm] \abs{\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}}\le [/mm] L. Jetzt weiß ich aber ja nur, dass die Ableitung beschränkt ist. Wie komme ich denn dann auf gleichmäßige Stetigkeit?
Als Kriterium für die gleichmäßige Stetigkeit habe ich ja: [mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0, [/mm] sodass für alle x,y mit |x-y| < [mm] \delta [/mm] gilt: [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon.
[/mm]
Danke für eure Hilfe.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
Hmm, betrachte mal [mm] L\delta=\varepsilon
[/mm]
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Komme mit deinem Tipp leider nicht wirklich weiter. Kannst du das nochmal genauer erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zorba |
naja, wenn |x-y|< [mm] \delta, [/mm] dann ist [mm] |f(x9-f(y)|
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Ah stimmt. Also kann ich so argumentieren:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben und setze [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon/L [/mm] , da nach Voraussetzung gilt: $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ folgt nun für alle x,y mit [mm] |x-y|<\delta: [/mm] $|f(x)-f(y)| < [mm] L\delta [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
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Exakt und der entscheidende Punkt ist, dass dieses [mm] $\delta$ [/mm] unabhängig von $x$ gewählt ist - daher ist die Abbildung gleichmäßig stetig.
Man nennt diese Bedingung auch "dehnungsbeschränkt" oder "Lipschitz-stetig".
Gruß,
Lars
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 07.02.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank an euch! Viele Grüße Patrick
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