glm. Konvergenz von Fkt.reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle r>0 die Funktionenreihe f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}} [/mm] auf [-r,r] gleichmäßig konvergent ist.
Folgern Sie, dass f(x) auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
So ich verstehe zwar unsere Definition der gleichmäßigen Konvergenz nur habe ich keinen blassen Schimmer wie ich bei so einer Funktionenreihe vorgehe um sie zu untersuchen.
Ich denke dass ich iwie eine kgte Majorante finden müsste aber so genau weiss ich es auch nicht
Hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt
mfg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass für alle r>0 die Funktionenreihe f(x) =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}}[/mm] auf [-r,r]
> gleichmäßig konvergent ist.
> Folgern Sie, dass f(x) auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> So ich verstehe zwar unsere Definition der gleichmäßigen
> Konvergenz nur habe ich keinen blassen Schimmer wie ich bei
> so einer Funktionenreihe vorgehe um sie zu untersuchen.
> Ich denke dass ich iwie eine kgte Majorante finden müsste
> aber so genau weiss ich es auch nicht
>
> Hoffe dass ihr mir weiterhelfen könnt
Für x [mm] \in [/mm] [-r,r] und n [mm] \in \IN [/mm] ist
$0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+n^2} \le \bruch{x^4}{n^2} \le \bruch{r^4}{n^2}$ [/mm]
Jetzt bemühe das Maj.-Kriterium von Weierstraß.
FRED
> mfg eddie
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Also muss ich zeigen dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}} [/mm] konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
Ja
> Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)
Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.
FRED
>
> richtig?
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> > Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> > konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
>
> Ja
>
>
> > Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)
>
> Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert
> gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.
>
ok den zweiten Teil kann ich nun mit einem Satz aus der VL zeigen
> FRED
> > richtig?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Also muss ich zeigen dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{r^{4}}{n^{2}}[/mm]
> > > konvergiert um das Weierstraß Kriterium anzuwenden
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Falls dies der Fall ist konvergiert f(x)
> >
> > Hä ? Nein, Du hast dann: die Funktionenreihe konvergiert
> > gleichmäßig auf [-r,r] und das für jedes r>0.
> >
> ok den zweiten Teil kann ich nun mit einem Satz aus der VL
> zeigen
Mach mal vor.
FRED
>
> > FRED
> > > richtig?
>
> Vielen Dank
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Ok ich habe so angefagen
zu zeigen: Grenzfunktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig
Sei [mm] x\in \IR [/mm] beliebig fest und wähle [mm] r\in \IR [/mm] mit [mm] x\in [/mm] [-r,r]
Grenzfunktion auf [-r,r] definiert da die Reihe auf [-r,r] glm. konvergiert
Da für alle n: [mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}} [/mm] stetig auf [-r,r] ist
folgt dass die Grenzfunktion auf [-r,r] stetig ist, insbesondere auch im Punkt x
Da x beliebig folgt Grenzfkt. in jedem Pkt [mm] x\in \IR [/mm] stetig
kann man das so machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 29.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich habe so angefagen
>
> zu zeigen: Grenzfunktion ist auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig
>
> Sei [mm]x\in \IR[/mm] beliebig fest und wähle [mm]r\in \IR[/mm] mit [mm]x\in[/mm]
> [-r,r]
>
> Grenzfunktion auf [-r,r] definiert da die Reihe auf [-r,r]
> glm. konvergiert
>
> Da für alle n: [mm]\bruch{x^{4}}{x^{2}+n^{2}}[/mm] stetig auf
> [-r,r] ist
> folgt dass die Grenzfunktion auf [-r,r] stetig ist,
> insbesondere auch im Punkt x
>
> Da x beliebig folgt Grenzfkt. in jedem Pkt [mm]x\in \IR[/mm] stetig
>
>
> kann man das so machen ?
ja
fred
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