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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Do 05.05.2005 | | Autor: | Tinchen |
Hallo Leute!
Last but not least noch folgende Aufgabe, zu ich sagen muss, dass ich die Reihen eventuell bestimmen könnte, aber mit dem Hinweis nichts anfangen kann.
Bestimmen Sie:
a) [mm] \summe_{j=1}^{ \infty} \bruch{1}{j*3^j}
b) \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{j}{3^j} [/mm]
Hinweis: Anwendung der Sätze über die gliedweise Integration und Differentiation von Funktionsreihen.
Bei Aufgabe a) müsste ln3 - ln 2 rauskommen, habe ich gehört!
Bis denne!
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Hallo Tinchen,
> Bestimmen Sie:
> a) [mm]\summe_{j=1}^{ \infty} \bruch{1}{j*3^j}[/mm]
betrachte die Summe [mm]s(u)\; = \;\sum\limits_{j = 1}^{\infty} {\frac{1}{{j\;u^{j} }}} [/mm]
Diese Summe darf man gliedweise ableiten:
[mm]s'(u)\; = \;\frac{d}{{du}}\;\left( {\sum\limits_{j = 1}^{\infty} {\frac{1}{{j\;u^{j} }}} } \right)\; = \;\sum\limits_{j = 1}^{\infty} {\frac{1}{j}\;\frac{d}{{du}}} \left( {\frac{1}{{u^{j} }}} \right)
[/mm]
Für diese Summe muß ein geschlossener Ausdruck gefunden werden.
Dieser wiederum integriert ergibt die Summe s(u).
> b) [mm]\summe_{j=1}^{\infty} \bruch{j}{3^j}[/mm]
Diese Summe wirst Du integrieren müssen:
[mm]s(u)\; = \;\sum\limits_{j = 1}^\infty {\frac{j}{{u^j }}} [/mm]
[mm]S(u)\; = \;\int {\left( {\sum\limits_{j = 1}^{\infty} {\frac{j}{{u^{j} }}} } \right)\;du\; = \;\sum\limits_{j = 1}^{\infty} {\left( {\int {\frac{j}{{u^{j} }}\;du} } \right)} } [/mm]
Die Summe S(u) hierfür ist ja bekannt, ableiten und es ergibt sich die Summe s(u) = S'(u).
Gruß
MathePower
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