gleichzeitig diagonalisierbar < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Di 26.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Es sei V ein eindlich dimensionaler [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] seien f, g zwie symmetrische Bilinearformen V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR, [/mm] und sei f zusätzlich positiv definit. Zeigen sie, dass es eine Basis gibt, bezüglich der f und g gleichzeitig diagonalisierbar sind. Man sagt auch, dass man die beiden Formen simultan diagonalisieren kann.
So, wenn ich das so lese, denke ich mir, dass (V,f,) ein euklidischer Vektorraum ist, wegen symmetrisch.
Aber was kann ich jetzt machen?
Kann mir bitte jamnd helfen?
Vielen Lieben Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 26.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Engel!
> Es sei V ein eindlich dimensionaler [mm]\IR-Vektorraum,[/mm] seien
> f, g zwie symmetrische Bilinearformen V [mm]\times[/mm] V [mm]\to \IR,[/mm]
> und sei f zusätzlich positiv definit. Zeigen sie, dass es
> eine Basis gibt, bezüglich der f und g gleichzeitig
> diagonalisierbar sind. Man sagt auch, dass man die beiden
> Formen simultan diagonalisieren kann.
>
> So, wenn ich das so lese, denke ich mir, dass (V,f,) ein
> euklidischer Vektorraum ist, wegen symmetrisch.
Genau.
> Aber was kann ich jetzt machen?
Du suchst nun eine Orthonormalbasis von $V$ (bzgl. dem Skalarprodukt $f$), welche $g$ diagonalisiert. (Ueberleg dir erstmal, warum eine solche Basis sowohl $f$ als auch $g$ diagonalisiert.)
Wenn ihr dazu in der Vorlesung noch nicht konkret etwas hattet: Es gibt einen Isomorphismus $V [mm] \cong \IR^n$, [/mm] welcher $f$ zum Standardskalarprodukt ueberfuehrt. Ueber diesen Isomorphismus kannst du $g$ transportieren und bekommst eine symmetrische Bilinearform [mm] $\hat{g} [/mm] : [mm] \IR^n \times \IR^n \to \IR$. [/mm] Dass man diese nun mit einer ON-Basis von [mm] $\IR^n$ [/mm] (mit Standardskalarprodukt) diagonalisieren kann (bzw. mit einer orthogonalen Matrix, was genau das gleiche bedeutet), solltest du schon wissen.
Diese ON-Basis kannst du nun unter dem Isomorphismus $V [mm] \cong \IR^n$ [/mm] zuruecktransportieren zu einer ON-Basis von $V$ (bzgl. $f$), welche $g$ diagonalisiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Wir hatten da in einer Übung mal ein Zahlenbeispiel, da haben wir auch eine Orthonomalbasis gefunden und dann einfach die Matrizen bezüglich der neuen Basis aufgestellt und geschaut ob dann f und g mit dieser Basis gleichzeitig diagonalisierbar sind (natürlich war es so) aber das hilft mir nicht weiter bei dem Beweis, wie ich da formal anfangen soll das aufzuschreiben. Ich meine ich kann ja nicht nur Sätze hinschreiben....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 28.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wir hatten da in einer Übung mal ein Zahlenbeispiel, da
> haben wir auch eine Orthonomalbasis gefunden und dann
> einfach die Matrizen bezüglich der neuen Basis aufgestellt
> und geschaut ob dann f und g mit dieser Basis gleichzeitig
> diagonalisierbar sind (natürlich war es so) aber das hilft
> mir nicht weiter bei dem Beweis, wie ich da formal anfangen
> soll das aufzuschreiben. Ich meine ich kann ja nicht nur
> Sätze hinschreiben....
Also erstmal: jede ON-Basis von $V$ bezueglich $f$ diagonalisiert $f$, allein schon per Definition: die Matrix von $f$ bzgl. der ON-Basis ist die Einheitsmatrix. (Das musst du zuerst zeigen.)
Wenn du also eine ON-Basis von $V$ bzgl. $f$ findest, die $g$ diagonalisiert, hast du beides diagonalisiert.
Also: wenn du den passenden Satz auf $g$ und den euklidischen Vektorraum $(V, f)$ anwendest, bekommst du eine ON-Basis (bzgl. $f$), die $g$ diagonalisiert. Und nach dem oben gesagten diagonalisiert die dann beides.
LG Felix
|
|
|
|
