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Forum "Schul-Analysis" - gleichung, aufgaben
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gleichung, aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 20.06.2004
Autor: nora

ich hab hier die gleichung: 2x(hoch4)+7x³+5x²

jetzt meine fragen: wie bestimme ich die nullstellen? gleichung=0 setzen, is mir klar, aber dann?
wie berechne ich die extremstellen, sowie die wendestellen? ich weiß es nich, und würd mich über ne antwort freuen.. :)

        
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gleichung, aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 So 20.06.2004
Autor: Logan

Hallo Nora,

[mm]f(x)=2x^4+7x^3+5x^2[/mm]
Nullstellenbestimmung:

> gleichung=0 setzen, is mir klar, aber dann?

Das ist richtig! Nachdem du nun die Gleichung= 0 gesetzt hast, kannst du [mm]x^2[/mm] ausklammern und hast in den Klammern schließlich einen Term stehen, den du mühelos mit z.B. der P/q-Formel lösen kannst.
Insgesammt hast du dann drei Nullstellen. Dabei ist eine gleich Null (nähmlich das ausgeklammert [mm]x^2[/mm], was ja auch eine Nullstelle ist!).

Extremstellen
Du musst zunächst einmal die erste Ableitung von [mm]f(x)[/mm] bilden.
Danach verfährst du zunächst wie bei der Nullstellenbestimmung.
Die erste Ableitung muss gleich Null gesetzt werden.
Hierbei musst du x ausklammern und den Term in den Klammern mit z.B. der P/q-Formel lösen.
Schließlich erhälst du drei Kandidaten für die Extremstellen, wobei wieder ein x= 0 ist (das ausgeklammerte x). Diese drei Kandidaten müssen aber noch anhand des Vorzeichenkriteriums überprüft werden.
Du bildest die zweite Ableitung und setzt jeden Kandidaten in [mm]f''(x)[/mm] ein.
Es gilt, wenn[mm]f''(Kandidat(x))\ne 0[/mm], dann hinreichendes Kriterium erfüllt und du hast deine Extremstelle.
Zu beachten ist:
Wenn [mm]f''(Kandidat(x))> 0[/mm], so ist das ein Tiefpunkt.
Wenn [mm]f''(Kandidat(x))<0[/mm], so ist das ein Hochpunkt.
Damit hättest du dann die Extremstellen überprüft und musst nur noch den jeweiligen y-Wert berechnen, indem du die jeweilige Extremstelle(x) in [mm]f(x)[/mm] einsetzt.

Wendepunkte
1. Zweite Ableitung= 0 setzten. --> Man erhält Kandidaten
Beim hinreichenden Kriterium bin ich mir nicht ganz sicher, also wird es besser sein, wenn dir da noch jemand anderes hilft.

Damit müsste deine Frage (fast) beantwortet sein.
Viel Spaß noch!

Gruß Logan
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gleichung, aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 20.06.2004
Autor: ziska

okay, ich ergänze dann mal in Bezug auf die Wendepunktberechnung:
Das ist ganz einfach:

Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt:
     f`(x)= 0   und f``(x) ungleich 0
                     oder Vorzeichenwechsel von f`` an x

Wie Logan schon schrieb, musst du erst einmal die 2.Ableitung gleich 0 setzen. Die dabei rauskommenden Ergebnisse setzt du entweder in die 3.Ableitung ein - dabei muss ein Ergebnis ungleich 0 herauskommen- oder du testest, ob f`` ein Vorzeichenwechsel an der jeweiligen Stelle hat.

BSP: Du hast die bei der 2.Ableitung x=2 und x=5 rausbekommen, dann testest du mit der Punktprobe, ob f`` an 2 und/oder 5 einen Vorzeichenwechsel besitzt.

Dazu setzt du jeweils einen größeren und einen kleineren Wert (bei x=2: z.B. 1 und 3) in die 2.Ableitung ein und berechnest den dann. Wenn einmal dann ein negatives und einmal ein positives Ergebnis herauskommt, liegt ein VZW vor und du hast an der Stelle x=2 eine Wendestelle.
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gleichung, aufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Mo 21.06.2004
Autor: nora

super, vielen lieben dank.
dann üb ich das gleich mal ne runde ;)
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gleichung, aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 21.06.2004
Autor: nora

hab noch ne frage bezüglich der wendestelle..
bei der aufgabe 2x(hoch 4) +7x³+5x².. da is die 1.ableitung ja 8x³+21x²+10.. und die 2te ist 24x+42x
wenn ich jetzt die ergebnisse der 2.ableitung einsetze, es aber beides mal ein negativer wert rauskommt, dann liegt ja kein vzw vor, und somit auch kein wendepunkt? d.h. ich schreibe, dass keiner vorhanden ist?
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gleichung, aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 21.06.2004
Autor: Eva

Hallo Nora,

> 1.ableitung ja 8x³+21x²+10

[notok] Bitte überprüfe das noch einmal! Hinter der 10 fehlt noch etwas!

> 2te ist 24x+42x

Bitte auch noch mal berechnen, liegt daran, dass die 1. Ableitung einen Fehler hat!

Für die Wendpunkte gilt ja folgendes

Notwendige Bedingung:
[mm] $f''(x_0)=0$ [/mm]

Hinreichende Bedingung:
[mm] $f''(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_0)\not=0$ [/mm]

Soweit klar?
Wenn nicht, dann frag' bitte nach, ich erkläre es Dir gerne :-).

Versuch' jetzt mal die Ableitungen neu zu berechnen, schreib Dein Ergebnis hier rein, dann überprüfen wir es.  Einverstanden?

Liebe Grüße [winken],
Eva
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gleichung, aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mo 21.06.2004
Autor: nora

also die gleichung ist: 2x(hoch4)+7x³+5x².. die ist so richtig. und daraus ergibt sich ja die 1.ableitung, die da wäre 8x³+21x²+10.. also die aufgabe ist so richtig.
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gleichung, aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mo 21.06.2004
Autor: Youri

Hallo nochmal Nora!

> also die gleichung ist: 2x(hoch4)+7x³+5x².. die ist so
> richtig. und daraus ergibt sich ja die 1.ableitung, die da
> wäre 8x³+21x²+10.. also die aufgabe ist so richtig.

[notok]

Eva wollte Dich darauf aufmerksam machen, dass Dir ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen ist...

[mm] f(x)=2*x^4+7*x^3+5*x^2 [/mm]

Nach den Regeln, die Du kennst mal ganz ausführlich:
[mm] f'(x)= 4*2*x^{4-1}+3*7*x^{3-1}+2*5*x^{2-1} [/mm]
[mm] f'(x)=8*x^3+21*x^2+10*x [/mm]  

Klar? Du hast ein kleines x vergessen :-)

Daher ergeben sich für die zweite und dritte Ableitung Folgefehler...
Versuche doch nochmal die zweite und dritte Ableitung -
wir sind gespannt.

Lieben Gruß,
Andrea.
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gleichung, aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Di 22.06.2004
Autor: nora

ahh, ok
also 2x(hoch4)+7x³+5x²= 1.ableitung: 8x³+21x²+10x, dann ist die 2.ableitung: 24x+42x+10.. und die 3te.. 24x+42x... richtig?
Bezug
                                                        
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gleichung, aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Di 22.06.2004
Autor: Marc

Hallo nora,

>  also 2x(hoch4)+7x³+5x²=
>  1.ableitung: 8x³+21x²+10x, dann

[ok]

> ist die 2.ableitung: 24x+42x+10..

[notok], die Ableitung von [mm] 8x^3 [/mm] ist doch [mm] $24x^\red{2}$ [/mm]

> und die 3te.. 24x+42x...

[notok] Ganz falsch (wenn deine 2. Ableitung richtig wäre, dann müßte die 3. Ableitung doch lauten: 24+42)

> richtig?

Noch mal im Überblick:

[mm] $f(x)=2x^4+7x^3+5x^2$ [/mm]
[mm] $f'(x)=8x^3+21x^2+10x$ [/mm]
[mm] $f''(x)=24x^2+42x+10$ [/mm]
$f'''(x)=48x+42$

und als (unnötiges) Extra, aber vielleicht zu Übung gut, die vierte und fünfte Ableitung:

[mm] $f^{(IV)}=48$ [/mm]
[mm] $f^{(V)}=0$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

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gleichung, aufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Di 22.06.2004
Autor: nora

ahh. oh mann, ich mach so doofe fehler. ja klar, so isses richtig. ich bin in dem ganzen stoff viel zu unsicher, das pack ich nie.
naja.. danke.
Bezug
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