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| Aufgabe | Untersuche die Funktion f, g: ]0,1]--> [mm] \IR,
[/mm]
f(x)= cos x/ x und f(x)= sinx/x auf gleichmäßige Stetigkeit. |
Hallo! Ich bins mal wieder ;o) Das Semester hat wieder angefangen und erste Fragen tun sich auf....Es wäre schön, wenn ihr mir wie immer so schön helfen würdet!
Laut Definition ist eine Funktion ja genau dann stetig, wenn es ein [mm] \varepsilon [/mm] 0 aus allen [mm] \delta [/mm] >0 gibt, für das ein x,x0 [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x0|<\delta [/mm] existiert, für das gilt : |f(x)-f(x0| [mm] \ge \varepsilon0.
[/mm]
Was fange ich jetzt damit an? (die Nullen sollen alle unten im Index stehen, weiß aber nicht, wie das geht)
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Hallo!!
Sei f eine Funktion und [mm] x_0\inD(f). [/mm] Die Funktion f heißt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig genau dann, wenn folgendes gilt:
Für jede beliebige Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\inD(f) [/mm] für alle [mm] n\in\IN, x_n\not=x_0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0 [/mm] gilt:
Die Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergiert und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x_0)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(x_0}f(x) [/mm] existiert
für de Funktion g(x):
[mm] g(x_n)=\bruch{cos(x_n)}{x_n}
[/mm]
Nach den Grenzwertsätzen ist die Folge der Funktionssätze konvergent und es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{cos(x_n)}{x_n}=\bruch{cos(x_0)}{x_0}=g(x_0)
[/mm]
Wäre die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] nicht stetig würde ein solches Verhalten nicht auftreten.
Müsste für f(x) analog funktionieren.
...Hab das Zeug aus meinem Skript Mathe LK 12. Ich hoffe, dass das ein vollständiger Beweis war... Bin mir auch net mehr 100% sicher
Mit lieben Grüßen
Andreas
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Das wäre ja dann die Stetigkeit, aber nicht die gleichmaäßige Stetigkeit???!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Hund |
Stimmt!
Gruß
Hund
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Hallo!
oh.. tut mir Leid. Ich hatte ohl etwas ungenau gelesen.
Liebe Grüße und noch viel Erfolg
Andreas
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Hi, ich glaube es ist zu sehen dass die erste Funktion nicht gleichmäßig stetig sein kann, denn sie hat bei Null einen Pol und da das Interval offen ist, kann man immer eine Umgebung finden in der für [mm] \eps0 [/mm] die Gleichungen nicht mehr gelten.
Die zweite Funktion ist aber wahrscheinlich gleim. stetig. Es liegt daran dass sinx in Null in etwa gleiche Steigung wie x hat, und deswegen könnte man dass über die Reihendarstellung/Polynomdarstellung von x eine Abschätzung für die maximale Differenz von sinx und x finden.
Ich bin halt kein Mathematiker, deswegen kann ich die Beweise nicht so schön formal ausführen, aber ich hoffe meine Hinweise werden Dir weiter helfen.
bis dann
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Jo, danke! Ich studiere zwar Mathe, aber an der foralen Ausübung der Beweise bin ich bis jetzt auch immer gescheitert. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also für die Aufgabe gibt es eine ziemlich einfache Lösung. Zunächst hast du ja das Intervall (0,1]. Auf dem sind ja deine beiden Funktionen auch stetig. Jetzt brauchst du nur bei beiden Funktionen x gegen 0 streben zu lassen und gucken was passiert. Wenn es einen Grenzwert gibt, ist sie gleichmäßig stetig, wenn nicht dann nicht.
Ich habe hier ein einfachen Satz verwendet den ihr in der Vorlesung vielleicht schon hattet. Ansonsten begründest du so:
1. Fall: Es gibt einen Grenzwert. Dann kannst du deine Funktion in 0 steig fortsetzten und hast eine stetige Funktion auf kompaktem Intervall, was ja gleichmäßige Stetigkeit impliziert.
2. Fall: Wäre die Funktion glm. stetig, so würde das Cauchy-Kriterium die Existenz eines Grenzwertes in 0 implizieren.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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