gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 14.01.2007 | | Autor: | Big_T_85 |
| Aufgabe | | Man zeige: Die Funktion f: R+ --> R+, f(x):= [mm] \wurzel{x} [/mm] ist gleichmäßig stetig, die Funktion g: R --> R+, g(x):= x², ist dagegen nicht gleichmäßig stetig. |
ich brauch da dringend hilfe!!! DANKE
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Hallo und guten Morgen,
schreib doch Dir zuerst mal die Def. von glm. Stetigkeit hin, um vor Augen zu haben, was zu prüfen ist.
Dann kannst Du wie folgt vorgehen: Für [mm] x\neq [/mm] 0 und [mm] \delta [/mm] hinreichend klein ist
[mm] |f(x+\delta)-f(x)|=|\sqrt{x+\delta}-\sqrt{x}|=\frac{|f(x+\delta)-f(x)|\cdot ||f(x+\delta)+f(x)|}{|f(x+\delta)+f(x)|}
[/mm]
= [mm] \frac{|\delta|}{|f(x+\delta)+f(x)|}
[/mm]
Für [mm] x\geq [/mm] 1und [mm] |\delta|\leq [/mm] 0.75 können wir dies nach oben durch [mm] \frac{|\delta|}{\sqrt{1+\delta}+1}\leq \frac{|\delta|}{3\slash 2} [/mm] abschätzen und erhalten also glm. Stetigkeit, für [mm] x\in[0,1] [/mm] gilt glm. Stetigkeit zB, weil f stetig ist und damit auf jedem
Kompaktum glm. stetig.
Zu g:
Annahme, es gäbe zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 solch ein [mm] \delta, [/mm] so daß für alle [mm] x\in [0,\infty) [/mm] gilt:
|x-x'| < [mm] \delta [/mm] impliziert |g(x)-g(x')| [mm] <\epsilon.
[/mm]
Aber setze dann zu gegebenen Werten [mm] \epsilon, \delta [/mm] ein sehr großes x ein,
[mm] (x+\delta)^2-x^2=x^2+2\delta x+\delta^2 [/mm] zeigt Dir, daß die Wahl [mm] x\geq \frac{4\cdot \epsilon}{\delta} [/mm] oder so gut ist und
Du damit einen Widerspruch bekommst.
Gruß,
Mathias
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