gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche folgende Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
g) [mm] f_{n} [/mm] : [mm] [0,\infty] \to \IR [/mm] mit [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{x}{n^2} exp(-\bruch{x}{n})+sin(x) [/mm] |
[mm] \bruch{x}{n^2} exp(-\bruch{x}{n})+sin(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{n^2} e^{-\bruch{x}{n}}+sin(x)
[/mm]
pktw. Konv.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{n^2} e^{-\bruch{x}{n}}+sin(x) [/mm] = [mm] \bruch {x}{0}e^0+sin(x) [/mm] = sin(x) =: f(x)
glm. Konv.
sup [mm] \{f_{n}(x) - f(x)| x \in [0,\infty] \} [/mm] = sup [mm] \{\bruch{x}{n^2} e^{-\bruch{x}{n}}| x \in [0,\infty] \} [/mm] = sup [mm] \{\bruch{\bruch{x}{n^2}}{e^{\bruch{x}{n}}}| x \in [0,\infty] \} \le \bruch{\bruch{0}{n^2}}{e^{\bruch{0}{n}}} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Habe ich richtig gerechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dass das Supremum von [mm] |f_n-f| [/mm] kleiner als 0 ist, stimmt nicht.
Leite [mm] f_n-f [/mm] mal ab und schau, ob du ein globales Maximum oder Minimum findest (und das wirst du).
Den x-Wert, den du erhältst, setzt du dann einfach in [mm] |f_n-f| [/mm] ein und dann hast du das Supremum von [mm] |f_n-f| [/mm] gefunden und kannst es also "sup-frei" darstellen. Dann siehst du ja auch, ob die entstehende Folge gegen 0 konvergiert,
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi!
Also [mm] (f_{n}-f)' [/mm] = [mm] (\bruch{x}{n^2 e^{\bruch{x}{n}}})' [/mm] = [mm] \bruch{n^2e^{\bruch{x}{n}}-xn^2e^{\bruch{x}{n}}\bruch{1}{n}}{(n^2e^{\bruch{x}{n}})^2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2e^{\bruch{x}{n}}(1-\bruch{x}{n})}{(n^2e^{\bruch{x}{n}})^2} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{x}{n}}{n^2e^{\bruch{x}{n}}}
[/mm]
Für ein Extremum muss dies gleich null sein [mm] \Rightarrow 1-\bruch{x}{n} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = n
[mm] \Rightarrow sup\{f_{n}(x)-f(x) | x \in [0,\infty] \} \le \bruch{n}{n^2}e^{\bruch{n}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Also [mm](f_{n}-f)'[/mm] = [mm](\bruch{x}{n^2 e^{\bruch{x}{n}}})'[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2e^{\bruch{x}{n}}-xn^2e^{\bruch{x}{n}}\bruch{1}{n}}{(n^2e^{\bruch{x}{n}})^2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{n^2e^{\bruch{x}{n}}(1-\bruch{x}{n})}{(n^2e^{\bruch{x}{n}})^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-\bruch{x}{n}}{n^2e^{\bruch{x}{n}}}[/mm]
>
> Für ein Extremum muss dies gleich null sein [mm]\Rightarrow 1-\bruch{x}{n}[/mm]
> = 0 [mm]\gdw[/mm] x = n
jetzt mußt Du noch zeigen, dass in x = n tatsächlich das abs. Max. vorliegt
>
> [mm]\Rightarrow sup\{f_{n}(x)-f(x) | x \in [0,\infty] \} \le \bruch{n}{n^2}e^{\bruch{n}{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
sonst stimmts
FRED
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> jetzt mußt Du noch zeigen, dass in x = n tatsächlich das
> abs. Max. vorliegt
> >
> > [mm]\Rightarrow sup\{f_{n}(x)-f(x) | x \in [0,\infty] \} \le \bruch{n}{n^2}e^{\bruch{n}{n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{n} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
>
> sonst stimmts
>
> FRED
Und wie mache ich das jetzt? Also ein lokales Maximum habe ich grad noch nebenher auf nem Zettel gezeigt:
[mm] (f_{n}(x)-f(x))'' [/mm] = [mm] (\bruch{x}{n^2e^{\bruch{x}{n}}})'' [/mm] = [mm] (\bruch{1-\bruch{x}{n}}{n^2e^{\bruch{x}{n}}})' [/mm] = [mm] \bruch{-2-\bruch{x}{n}}{n^3e^{\bruch{x}{n}}}
[/mm]
x=n [mm] \Rightarrow \bruch{-2-\bruch{n}{n}}{n^3e^{\bruch{n}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{n^3} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. Max.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze $g(t) = [mm] te^{-t}$ [/mm] (t [mm] \ge [/mm] 0)
Es ist g(0) = 0, g [mm] \ge [/mm] 0 auf [0, [mm] \infty), [/mm] g(t) [mm] \to [/mm] 0 fütr t [mm] \to \infty [/mm] und g ist stetig.
Also ex ein [mm] t_0 \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] mit: $g(t) [mm] \le g(t_0)$ [/mm] für jedes t [mm] \ge [/mm] 0
Es gilt: [mm] $g'(t_0) [/mm] = 0$. Die Gleichung $g'(t) = 0$ hat aber nur die Lösung t=1, also ist [mm] t_0 [/mm] =1. Somit:
$g(t) [mm] \le [/mm] 1/e$ für jedes t [mm] \ge [/mm] 0
Für Deine Folge [mm] (f_n) [/mm] und die Grenzfunktion f gilt nun:
[mm] $f_n(x) [/mm] -f(x)= [mm] \bruch{1}{n}g(x/n) \le \bruch{1}{n}*\bruch{1}{e}$ [/mm] für jedes x [mm] \ge [/mm] 0
FRED
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Lieber Fred,
leider kann ich mit deiner "Antwort" absolut nichts anfangen! Ich verstehe nicht, was das, was du schreibst, mit meiner Frage zu tun hat...
> Setze [mm]g(t) = te^{-t}[/mm] (t [mm]\ge[/mm] 0)
>
> Es ist g(0) = 0, g [mm]\ge[/mm] 0 auf [0, [mm]\infty),[/mm] g(t) [mm]\to[/mm] 0 fütr
> t [mm]\to \infty[/mm] und g ist stetig.
>
> Also ex ein [mm]t_0 \in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] mit: [mm]g(t) \le g(t_0)[/mm] für
> jedes t [mm]\ge[/mm] 0
Okay, die Funtion, die du hier aufstellst, hat ein Maximum...
>
> Es gilt: [mm]g'(t_0) = 0[/mm]. Die Gleichung [mm]g'(t) = 0[/mm] hat aber nur
> die Lösung t=1, also ist [mm]t_0[/mm] =1. Somit:
>
> [mm]g(t) \le 1/e[/mm] für jedes t [mm]\ge[/mm] 0
Okay, die Funktion, die du aufstellst hat in x=1 ein Maximum...
>
>
> Für Deine Folge [mm](f_n)[/mm] und die Grenzfunktion f gilt nun:
>
>
> [mm]f_n(x) -f(x)= \bruch{1}{n}g(x/n) \le \bruch{1}{n}*\bruch{1}{e}[/mm]
> für jedes x [mm]\ge[/mm] 0
Okay, aus [mm] f_n(x) [/mm] -f(x) = [mm] \bruch{x}{n^2e^{\bruch{x}{n}}} [/mm] machst du [mm] \bruch{1}{n}*\bruch{x}{n}*\bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}}, [/mm] was mit deiner Funktion g zu [mm] \bruch{1}{n}*g(\bruch{x}{n}) [/mm] wird. Da du gezeigt hast, dass g(t) < 1/e [mm] \forall x\ge [/mm] 0 gilt, kommst du zu [mm] f_n(x) [/mm] -f(x) < 1/n*1/e... Und nun??? Wo ist denn jetzt der Beweis, dass x=n das abs. Max. ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Lieber Fred,
> leider kann ich mit deiner "Antwort" absolut nichts
> anfangen! Ich verstehe nicht, was das, was du schreibst,
> mit meiner Frage zu tun hat...
Es ist eher eine elegantere Loesung der urspruenglichen Aufgabe als eine direkte Antwort auf deine Frage 
> > Setze [mm]g(t) = te^{-t}[/mm] (t [mm]\ge[/mm] 0)
> >
> > Es ist g(0) = 0, g [mm]\ge[/mm] 0 auf [0, [mm]\infty),[/mm] g(t) [mm]\to[/mm] 0 fütr
> > t [mm]\to \infty[/mm] und g ist stetig.
> >
> > Also ex ein [mm]t_0 \in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm] mit: [mm]g(t) \le g(t_0)[/mm] für
> > jedes t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Okay, die Funtion, die du hier aufstellst, hat ein
> Maximum...
>
> >
> > Es gilt: [mm]g'(t_0) = 0[/mm]. Die Gleichung [mm]g'(t) = 0[/mm] hat aber nur
> > die Lösung t=1, also ist [mm]t_0[/mm] =1. Somit:
> >
> > [mm]g(t) \le 1/e[/mm] für jedes t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Okay, die Funktion, die du aufstellst hat in x=1 ein
> Maximum...
Und zwar das absolute Maximum.
> > Für Deine Folge [mm](f_n)[/mm] und die Grenzfunktion f gilt nun:
> >
> >
> > [mm]f_n(x) -f(x)= \bruch{1}{n}g(x/n) \le \bruch{1}{n}*\bruch{1}{e}[/mm]
> > für jedes x [mm]\ge[/mm] 0
>
> Okay, aus [mm]f_n(x)[/mm] -f(x) = [mm]\bruch{x}{n^2e^{\bruch{x}{n}}}[/mm]
> machst du
> [mm]\bruch{1}{n}*\bruch{x}{n}*\bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}},[/mm] was
> mit deiner Funktion g zu [mm]\bruch{1}{n}*g(\bruch{x}{n})[/mm] wird.
> Da du gezeigt hast, dass g(t) < 1/e [mm]\forall x\ge[/mm] 0 gilt,
Nein! Er hat gezeigt $g(t) [mm] \le [/mm] 1/e$ fuer alle $g [mm] \ge [/mm] 0$. Nicht echt kleiner!
> kommst du zu [mm]f_n(x)[/mm] -f(x) < 1/n*1/e... Und nun??? Wo ist
Auch hier: kleinergleich!
> denn jetzt der Beweis, dass x=n das abs. Max. ist???
Na, er hat doch gezeigt, dass $g(z)$ bei $z = 1$ das absolute Maximum annimmt. Und hier ist $z = [mm] \frac{x}{n}$, [/mm] womit $z = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = n$ gilt. Also wird das absolute Maximum fuer $x = n$ angenommen.
Nun zurueck zu deiner Frage: du hast gezeigt, dass $x = n$ das einzige Maximum in $(0, [mm] \infty)$ [/mm] ist. Du musst jetzt jedoch noch die Raender betrachten, also $x = 0$ und $x [mm] \to \infty$, [/mm] und zeigen, dass die Funktion dort das Maximum bei $x = n$ nicht uebersteigt. (Das ist das, was Fred mit $g(0) = 0$ und [mm] $\lim_{t \to \infty} [/mm] g(t) = 0$ macht, und mit der Aussage dass $g(t) [mm] \ge [/mm] 0$ ist fuer alle $t$ im Definitionsbereich.)
Ich hoffe das hilft dir weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lieber Fred,
> leider kann ich mit deiner "Antwort" absolut nichts
> anfangen! Ich verstehe nicht, was das, was du schreibst,
> mit meiner Frage zu tun hat...
Das ist schade ....
Aber Felix hat Dir ja schon alles gesagt
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:10 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]\Rightarrow sup\{f_{n}(x)-f(x) | x \in [0,\infty] \} \le \bruch{n}{n^2}e^{\bruch{n}{n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{n} \to[/mm] 0 (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> sonst stimmts
...fast: [mm] $\frac{n}{n^2} e^{\frac{n}{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] e$ ist nicht [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm] Aber das aendert nichts am Ergebnis 
LG Felix
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