gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
a)wir haben heute in der Vorlesung ein Beispiel zur Konvergenz von gleichmäßig konvergenten Funktionenreihen gemacht:
Eine derartige Reihe heißt gleichmäßig konvergent, wenn ihre Partialsummen gleichmäßig konvergent sind.
Zum Beispiel:
Es sei D=]0,1[, [mm] f_k(x):=x^k [/mm] (k [mm] \ge [/mm] 0) und
s(x):= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} f_k(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}.
[/mm]
Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, bzw. hier um sie zu wiederlegen, stellt man nun folgenden Ansatz auf:
| s(x) - [mm] s_n(x)| [/mm] = | [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} x^k [/mm] | =
[mm] x^{n+1}\summe_{k=n+1}^{\infty} x^{k-n-1}= \bruch{x^{n+1}}{1-x}< \varepsilon [/mm]
Nach Umformung von [mm] \bruch{x^{n+1}}{1-x}< \varepsilon [/mm]
erhält man für [mm] \varepsilon [/mm] aus ]0,1[:
n+1 > [mm] \bruch{ln(\varepsilon(1-x))}{ln(x)} [/mm] für alle x aus ]0,1[
Dies kann nicht gelten, so dass die Reihe nicht glm konv. ist...
ABER WARUM KANN DIES NICHT GELTEN?
b) Es geht um den Nachweise der gleichm. Konvergenz von [mm] \wurzel[n]{x}.
[/mm]
Die Grenzfunktion ist ja 1. Ich möchte die glm Konv. mit der Supremumsnorm nachweisen:
also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel \wurzel[n]{x} [/mm] - 1 [mm] \parallel. [/mm] Die supremumsnorm [mm] \parallel \wurzel[n]{x} [/mm] - 1 [mm] \parallel [/mm] ist doch 0, denn
[mm] sup(|\wurzel[n]{x}|) [/mm] ist doch 1. Damit ist [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] in diesem Intervall punktweise, und wegen letzerem auch glm. konvergent. Oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pollux!
> a)wir haben heute in der Vorlesung ein Beispiel zur
> Konvergenz von gleichmäßig konvergenten Funktionenreihen
> gemacht:
>
> Eine derartige Reihe heißt gleichmäßig konvergent, wenn
> ihre Partialsummen gleichmäßig konvergent sind.
>
> Zum Beispiel:
> Es sei D=]0,1[, [mm]f_k(x):=x^k[/mm] (k [mm]\ge[/mm] 0) und
> s(x):= [mm]\summe_{k=0}^{\infty} f_k(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}.[/mm]
> Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, bzw. hier um sie
> zu wiederlegen, stellt man nun folgenden Ansatz auf:
> | s(x) - [mm]s_n(x)|[/mm] = | [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty} x^k[/mm] | =
> [mm]x^{n+1}\summe_{k=n+1}^{\infty} x^{k-n-1}= \bruch{x^{n+1}}{1-x}< \varepsilon[/mm]
> Nach Umformung von [mm]\bruch{x^{n+1}}{1-x}< \varepsilon[/mm]
> erhält man für [mm]\varepsilon[/mm] aus ]0,1[:
> n+1 > [mm]\bruch{ln(\varepsilon(1-x))}{ln(x)}[/mm] für alle x aus
> ]0,1[
> Dies kann nicht gelten, so dass die Reihe nicht glm konv.
> ist...
> ABER WARUM KANN DIES NICHT GELTEN?
Nun, es müsste ja für ein festes $n$ und ein festes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gelten:
$n+1 > [mm] \frac{\ln(\varepsilon(1-x))}{\ln(x)}$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] ]0,1[$.
Nun gilt aber (dummerweise):
[mm] $\lim\limits_{x \uparrow 1} \frac{\ln(\varepsilon(1-x))}{\ln(x)} [/mm] = + [mm] \infty$.
[/mm]
> b) Es geht um den Nachweise der gleichm. Konvergenz von
> [mm]\wurzel[n]{x}.[/mm]
> Die Grenzfunktion ist ja 1. Ich möchte die glm Konv. mit
> der Supremumsnorm nachweisen:
Könntest du bitte schreiben auf welchem Intervall du die gleichmäßig Konvergenz nachweisen willst? Im Allgemeinen ist diese Funktionenfolge nämlich nicht gleichmäßig konvergent.
Liebe Grüße
Stefan
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