gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f_n(x)=\bruch{1}{2^n}*x+1 [/mm] auf punktweise/gleichmäßige Konvergenz untersuchen |
Hallo,
wie gesagt soll ich die Funktionenfolge auf Konvergenz untersuchen. Ich habe hier die Lösung, dass die Funktionenfolge Punktweise konvergent, aber nicht gleichmäßig konvergent sein soll.
Dummerweise bekomme ich aber heraus, dass sie gleichmäßig konvergent ist. Ich wüsste also gerne wo mein Fehler ist:
lim n->unendlich [mm] f_n(x)=+1
[/mm]
=> Die Funktion ist punktweise konvergent mit der Grenzfunktion f(x)=1
Bedingung für gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_n(x)-f(x)<=a_n [/mm] wobei [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist
[mm] |f_n(x)-f(x)|=|\bruch{1}{2^n}*x|
[/mm]
=> für n=1: |0,5x|
n=2: |0,25x|
n=3: |1/8*x|
n=4: |1/16*x|
........
Das ganze geht doch dann gegen 0 ist also eine Nullfolge, also müsste es auch gleichmäßig Konvergent sein, was es laut Lösung ja aber nicht ist.
Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand meinen Fehler zeigen könnte.
Vielen Dank schon mal!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_n(x)=\bruch{1}{2^n}*x+1[/mm] auf punktweise/gleichmäßige
> Konvergenz untersuchen
Wo ????????????????? Das ist wichtig !!
> Hallo,
> wie gesagt soll ich die Funktionenfolge auf Konvergenz
> untersuchen. Ich habe hier die Lösung, dass die
> Funktionenfolge Punktweise konvergent, aber nicht
> gleichmäßig konvergent sein soll.
> Dummerweise bekomme ich aber heraus, dass sie
> gleichmäßig konvergent ist. Ich wüsste also gerne wo
> mein Fehler ist:
>
> lim n->unendlich [mm]f_n(x)=+1[/mm]
O.K.
>
> => Die Funktion ist punktweise konvergent mit der
> Grenzfunktion f(x)=1
O.K.
>
> Bedingung für gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]f_n(x)-f(x)<=a_n[/mm] wobei [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist
>
> [mm]|f_n(x)-f(x)|=|\bruch{1}{2^n}*x|[/mm]
> => für n=1: |0,5x|
> n=2: |0,25x|
> n=3: |1/8*x|
> n=4: |1/16*x|
> ........
> Das ganze geht doch dann gegen 0 ist also eine Nullfolge,
Die gesuchte Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] darf aber nicht von x abhängen !!!
> also müsste es auch gleichmäßig Konvergent sein, was es
> laut Lösung ja aber nicht ist.
> Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand meinen Fehler
> zeigen könnte.
> Vielen Dank schon mal!!!!
Wir haben:
[mm]|f_n(x)-f(x)|=|\bruch{1}{2^n}*x| = \bruch{1}{2^n}|x|[/mm]
Ist z.B. I = [0, [mm] \infty), [/mm] so ist wegen
[mm] |f_n(2^n)-f(2^n)|= [/mm] 1 für jedes n
die Folge [mm] (f_n) [/mm] auf I nicht glm. konvergent.
Ist aber I ein beschränktes Interval, etwa |x| [mm] \le [/mm] c für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist
[mm]|f_n(x)-f(x)| \le \bruch{1}{2^n}c[/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] I
Damit ist [mm] (f_n) [/mm] auf I glm. konvergent.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Der Definitionsbereich der Funktion waren alle reelle Zahlen.
Um es richtig zu verstehen würde ich gerne noch mal Nachhacken, was gleichmäßige Konvegenz genau ist. Ich les mir hier schon ewig die Definitionen durch und raffs nicht genau.
Punktweise Konvergenz bedeutet doch einfach die Existenz einer Grenzfunktion.
Gleichmäßige Konvergenz hat doch was mit der Schnelligkeit der Annäherung der Funktionenfolge an diese Grenzfunktion zu tun, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 17.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Der
> Definitionsbereich der Funktion waren alle reelle Zahlen.
>
> Um es richtig zu verstehen würde ich gerne noch mal
> Nachhacken, was gleichmäßige Konvegenz genau ist. Ich les
> mir hier schon ewig die Definitionen durch und raffs nicht
> genau.
> Punktweise Konvergenz bedeutet doch einfach die Existenz
> einer Grenzfunktion.
> Gleichmäßige Konvergenz hat doch was mit der
> Schnelligkeit der Annäherung der Funktionenfolge an diese
> Grenzfunktion zu tun, oder?
Bei der gleichmäßigen Konvergenz geht es, salopp formuliert, darum, dass sich die Funktionenfolge unabhängig von x immer gleich schnell an die Grenzfunktion annähert.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
danke für die recht verständliche Erklärung.Ich denke so langsam hab ichs. Um Konvergenz zu beweisen muss ich also nur eine Nullfolge die unabhängig von x ist finden und die immer größer/gleich dem Betrag der Funktionenfolgen - der Grenzfunktion ist. Dies muss für alle x des Definitionsbereichs eingesetzt in die Funktionenfolgen und Grenzfunktion und dann für alle n bis unendlich gelten.
Um Konvergenz zu widerlegen kann ich z.B. eine Folge [mm] x_n [/mm] in [mm] f_n(x_n)-f(x_n) [/mm] einsetzen. Die resultierende Folge darf dann keine Nullfolge sein.
Also, danke noch mal für die schnellen Antworten und das kompakte zusammenfassen!
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