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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nächstehenden Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
a) [mm] f_{n}: [0,\infty)\to \IR, f_{n}(x)=e^{-x/n}/n
[/mm]
b) [mm] g_{n}: [0,\infty]\to \IR, g_{n}(x)= x*e^{-x/n}/n [/mm] |
Hallo,
Ich bereite mich gerade auf die klausur vor und habe nch Probleme im Umgang mit der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz.
a) definieren f(x):=0
Behauptung [mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f(x)
Beweis: Betrachte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_{n}-f\parallel [/mm] (Supremumsnorm)
[mm] \parallel e^{-x/n}/n-0\parallel= \parallel e^{-x/n}/n\parallel=0. [/mm] (Muss man hier noch begründen, warum es das Supremum ist?)
Damit konvergiert es gleichmäßig und somit auch punktweise.
b) definiere g(x):=0
Behauptung [mm] g_{n} [/mm] konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen g.
Beweis:
punktweise [mm] |x*e^{-x/n}/n-0|= |x*e^{-x/n}/n|
[/mm]
[mm] e^{-x/n}\le1 [/mm] für [mm] x\in [0,\infty]
[/mm]
[mm] |x*e^{-x/n}/n|\le [/mm] |x*1/n|= x/n< [mm] \varepsilon
[/mm]
Damit ist es punktweise konvergent.
Nicht gleichmäßig konvergent:
falls [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] kann ich kein n mehr finden (in der obigen Abschätzung), so dass die Funktionfolge gleichmäßig konvergiert.( Wie schreibt man es formal auf?)
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 18.07.2015 | | Autor: | hippias |
> Untersuchen Sie die nächstehenden Funktionenfolgen auf
> punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
> a) [mm]f_{n}: [0,\infty)\to \IR, f_{n}(x)=e^{-x/n}/n[/mm]
> b)
> [mm]g_{n}: [0,\infty]\to \IR, g_{n}(x)= x*e^{-x/n}/n[/mm]
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> Hallo,
>
> Ich bereite mich gerade auf die klausur vor und habe nch
> Probleme im Umgang mit der punktweisen und gleichmäßigen
> Konvergenz.
>
> a) definieren f(x):=0
> Behauptung [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f(x)
> Beweis: Betrachte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel f_{n}-f\parallel[/mm]
> (Supremumsnorm)
> [mm]\parallel e^{-x/n}/n-0\parallel= \parallel e^{-x/n}/n\parallel=0.[/mm]
> (Muss man hier noch begründen, warum es das Supremum
> ist?)
Nein, wenn Du die Supremumsnorm benutzt, dann muss nicht begruendet werden, dass ein Supremum vorliegt: das ist schliesslich die Definition dieser Norm.
Was Du aber klaeren musst, ist dies: [mm] $\parallel e^{-x/n}/n\parallel=0$ [/mm] ist falsch. Richtig ist [mm] $\parallel e^{-x/n}/n\parallel=\frac{1}{n}$. [/mm] Daraus kannst Du die Konvergenz ableiten. Schreibe das ruhig noch einmal ordentlich auf.
> Damit konvergiert es gleichmäßig und somit auch
> punktweise.
>
> b) definiere g(x):=0
> Behauptung [mm]g_{n}[/mm] konvergiert punktweise, aber nicht
> gleichmäßig gegen g.
> Beweis:
> punktweise [mm]|x*e^{-x/n}/n-0|= |x*e^{-x/n}/n|[/mm]
> [mm]e^{-x/n}\le1[/mm]
> für [mm]x\in [0,\infty][/mm]
> [mm]|x*e^{-x/n}/n|\le[/mm] |x*1/n|= x/n<
> [mm]\varepsilon[/mm]
Schreibe es ruhig aus: Fuer welche $n$ ist [mm] $\frac{x}{n}<\varepsilon$? [/mm] Sonst ist das richtig
> Damit ist es punktweise konvergent.
> Nicht gleichmäßig konvergent:
> falls [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] kann ich kein n mehr
> finden (in der obigen Abschätzung), so dass die
> Funktionfolge gleichmäßig konvergiert.( Wie schreibt man
> es formal auf?)
Fuehre aus: Es gibt [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] so, dass es fuer beliebiges [mm] $n\in \IN$ [/mm] ein $x$ gibt mit [mm] $|f_{n}(x)|\geq \varepsilon$.
[/mm]
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> mfg zahlenfreund
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