gleichmaessige + L-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 21.02.2008 | | Autor: | success |
Hi, ich versuche mich gerade an diesen Aufgaben: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe474/
Untersuchung auf Stetigkeit, gleichm. Stetigkeit, Lipschitz-Stetigkeit von
a) f(x)=x*ln(x) mit x [mm] \in [/mm] [0,1], b) [mm] \bruch{e^x}{x} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [1,oo)
zu a) Ich weiss, dass x stetig auf R, ln(x) stetig fuer x>0. Also hab ich noch den links und rechtsseiten Grenzwert von f(x) fuer x gegen 0 untersucht; der war jeweils 0, also ist f(x) stetig auf [0,1].
Daraus folgt die gleichmaessige Stetigkeit auf [0,1], da abgeschlossen und beschraenkt.
Lipschitz-Stetigkeit: Die Bedingung |f(x)-f(y)|<L*|x-y| ist mir natuerlich bekannt, aber ich hab keine Idee, wie ich dieses L finde oder nachweise, dass es nicht ex.
b) Stetigkeit war wieder sehr simpel, da Stetigkeit von x und [mm] e^x [/mm] auf R bekannt. Aber wie gehe ich bei gleichmaessiger Stetigkeit vor? Die offene unendlich Grenze bereitet mir Probleme. Waere auch gut, wenn mir hier jmd Tipps zu L-Stetigkeit geben koennte.
Vielen Dank :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 21.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchung auf Stetigkeit, gleichm. Stetigkeit,
> Lipschitz-Stetigkeit von
>
> a) f(x)=x*ln(x) mit x [mm]\in[/mm] [0,1], b) [mm]\bruch{e^x}{x}[/mm] mit x
> [mm]\in[/mm] [1,oo)
>
> zu a) Ich weiss, dass x stetig auf R, ln(x) stetig fuer
> x>0. Also hab ich noch den links und rechtsseiten Grenzwert
> von f(x) fuer x gegen 0 untersucht; der war jeweils 0, also
> ist f(x) stetig auf [0,1].
> Daraus folgt die gleichmaessige Stetigkeit auf [0,1], da
> abgeschlossen und beschraenkt.
> Lipschitz-Stetigkeit: Die Bedingung |f(x)-f(y)|<L*|x-y|
> ist mir natuerlich bekannt, aber ich hab keine Idee, wie
> ich dieses L finde oder nachweise, dass es nicht ex.
genau, Du hast hier nachgerechnet, dass diese Funktion stetig auf dem Kompaktum $[0,1]$ ist und daher dort auch gleichmäßig stetig. Dass die Funktion nicht Lipschitzstetig ist, kannst Du Dir auf zwei Wegen klarmachen (ich empfehle den zweiten, der erste wird aber i.w. nicht viel anders sein):
1.) Du nimmst an, sie wäre es und hantierst dann mit dem Mittelwertsatz, angwendet auf ein Intervall [mm] $[\delta_1,\delta_2]$ [/mm] mit (je nach Lipschitzkonstante $L$ zu wählenden) hinreichend kleinen $0 < [mm] \delta_1 [/mm] < [mm] \delta_2 [/mm] < 1$, so dass ein Widerspruch erfolgt (beachte, dass $f'$ unbeschränkt, insbesondere $|f'(x)| [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0^{+}$).
[/mm]
2.) Du guckst in Wikipdia:
Eine differenzierbare Funktion $f:(a,b) [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ [/mm] ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit
Nun beweist Du selbst diesen Satz (was eine gute Übung für Dich selbst ist  ) bzw. bestenfalls habt ihr ihn schon bewiesen (ich habe den Beweis gerade nicht im Kopf, aber da wird sicherlich auch der Mittelwertsatz zur Anwendung kommen). Also genügt es, einfach nachzurechnen, dass die erste Ableitung (von $f$ eingeschränkt auf $(0,1)$) unbeschränkt ist (was man schnell erkennt bei Betrachtung von [mm] $\lim_{x \to 0^{+}}f\mbox{ }'(x)$), [/mm] damit kann diese eingeschränkte Funktion [mm] $f_{|(0,1)}$ [/mm] nicht Lipschitzstetig sein und damit insbesondere auch $f$ selbst nicht.
> b) Stetigkeit war wieder sehr simpel, da Stetigkeit von x
> und [mm]e^x[/mm] auf R bekannt. Aber wie gehe ich bei
> gleichmaessiger Stetigkeit vor? Die offene unendlich Grenze
> bereitet mir Probleme. Waere auch gut, wenn mir hier jmd
> Tipps zu L-Stetigkeit geben koennte.
Nun:
Diese Funktion wird nicht gleichmäßig stetig sein können (und damit insbesondere auch nicht Lipschitzstetig, weil die Lipschitzstetigkeit die glm. implizieren würde; wobei man hier auch wieder leicht mit der Ableitung erkennen kann, dass die Funktion nicht Lipschitzstetig ist).
Warum? Nunja:
Ich setze mal [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] und behaupte:
[mm] $(\*)$ [/mm] Zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt es Punkte $x,y$, o.E. $1 [mm] \le [/mm] x < y$ derart, dass gilt:
[mm] $y=x+\frac{\delta}{2}$ [/mm] (und damit insbesondere [mm] $|y-x|=\frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta$), [/mm] aber $|f(y)-f(x)|=f(y)-f(x) [mm] \ge 1=\varepsilon$.
[/mm]
(Warum man damit zeigt, dass die Funktion nicht Lipschitzstetig ist, ergibt sich wie folgt:
Auf das Wesentliche reduziert:
Eine Funktion $f$ ist ja genau dann glm. stetig, wenn für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon} [/mm] > 0$ existiert, so dass für alle $x,y$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] dann [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.
[/mm]
Wenn man dies negiert:
Eine Funktion $f$ ist genau dann nicht glm. stetig, wenn es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ derart gibt, dass zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann [mm] $x=x_{\delta}, y=y_{\delta}$ [/mm] existieren, dass [mm] $|x-y|<\delta$, [/mm] aber $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon$.)
[/mm]
Denn anhand des Graphen erkennt man, dass das wohl gehen wird, je kleiner das [mm] $\delta [/mm] > 0$, desto weiter muss man mit dem $x$ in Richtung [mm] $\infty$. [/mm] Du kannst also z.B. o.E. $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] annehmen und dann versuchen, solche $x,y$ anzugeben, indem Du [mm] $x=g(\delta)$ [/mm] so wählst, dass mit [mm] $\delta \to 0^{+}$ [/mm] dann $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
Probieren könnte man also:
[mm] $x=\frac{1}{\delta}$, $x=\frac{1}{\delta^2}$, [/mm] ...
um [mm] $(\*)$ [/mm] zu erhalten.
Wenn Dir das nicht gefällt:
Es gibt auch eine Charakterisierung der glm. Stetigkeit einer Funktion mittels Folgen, aber der Grundgedanke dabei ist dann im Prinzip analog zur obigen Idee zu wählen, man muss einfach "weit genug" in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] laufen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 21.02.2008 | | Autor: | success |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, Marcel. :)
Der erste Teil ist mir absolut klar geworden.
Das mit dem Epsilon-Delta hab ich noch nicht ganz verstanden - was daran liegen duerfte, dass ich heute schon zu viel gemacht hab - aber ich werde mich nochmal ausgiebig mit deinen Ausführungen dazu beschaeftigen (brauch erst mal eine Pause).
Wenn es dann noch nicht einleuchten sollte melde ich mich nochmal.
ty!
|
|
|
|
