gleichmäßig/punktweise konv. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 13.01.2007 | | Autor: | juerci |
| Aufgabe | [mm] f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{e^{-x^{2}}}{n}
[/mm]
Konvergiert diese Funktionenfolge gleichmäßig oder punktweise? Man bestimme die Grenzfunktion. |
Vom Prinzip her verstehe ich das Beispiel ja, jedoch weiß ich nicht wie ich das am besten Beweisen kann. Der Unterschied zw. punktweise und gleichmäßiger Konvergenz besteht ja darin, dass im ersten Fall mein Index von x und [mm] \varepsilon [/mm] abhängig ist bzw. von x unabhängig ist.
also [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N(x,\varepsilon) [/mm] bzw. [mm] N(\varepsilon) [/mm] : [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \varepsilon [/mm] . [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Was mache ich wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = f(x) = [mm] \infty
[/mm]
Ist dann die Funktion weder punktweise noch gleichmäßig konvergent.
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Hallo,
> [mm]f_{n}: \IR \to \IR, f_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{e^{-x^{2}}}{n}[/mm]
> Konvergiert diese Funktionenfolge gleichmäßig oder
> punktweise? Man bestimme die Grenzfunktion.
> Vom Prinzip her verstehe ich das Beispiel ja, jedoch weiß
> ich nicht wie ich das am besten Beweisen kann.
was du hier vor allem verstehen musst, ist wie die funktion [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] aussieht, verhalten gegen [mm] $\pm\infty$, [/mm] extremwerte usw.. dann überlege dir, was der faktor $1/n$ bewirkt.
gruß
matthias
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