gleichmächtig und abzählbar < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Zeige, dass zwei reelle Intervalle [a,b],[c,d] unter der Voraussetzung [mm] a\not= [/mm] b, [mm] c\not= [/mm] d stets gleichmächtig sind.
b)zeige das [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, indem sie eine bijektive Abbildung [mm] f:\IN\to \IZ [/mm] angeben. |
b)
Okay...also um das das zu zeigen muss es eine bijektive Abbildung von [mm] \IN\to \IZ [/mm] geben. Und die Bijektivität muss ich sicher auch beweisen!
f: [mm] \IN_0\to \IZ, n\to [/mm] f(n):= [mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{2}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{-n+1}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
okay..also wenn man sich die Funktion anschaut, dann erkennt man, dass die geraden zahlen auf die positiven geraden Zahlen abgebildet und die ungeraden auf die negativen. Eine Bijektion liegt aber nur für Mengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen vor.
Also meine Frage: Stimmt die Funktion überhaupt? Wie kann ich beweisen, dass diese bijektiv ist? das kriege ich irgendwie nicht hin! (also injektiv und surjektiv zeigen)
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi,
Tippfehler:
[mm]\frac{2}{n}[/mm] ist i.A. nicht ganz.![[flatto-leiderned]](/images/smileys/flatto-leiderned.gif "[flatto-leiderned]")
Gruß,
Peter
P.S.: außerdem ist eine Abb. von [mm] $\IN$ [/mm] nicht [mm] $\IN_{0}$ [/mm] anzugeben, denn im letzteren Fall wird die 0 zweimal angenommen.
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Guten Morgen!
Da stimmt noch was nicht, aber die Grundidee ist gut und richtig.
> b)zeige das [mm]\IZ[/mm] abzählbar ist, indem sie eine bijektive
> Abbildung [mm]f:\IN\to \IZ[/mm] angeben.
>
>
> b)
>
> Okay...also um das das zu zeigen muss es eine bijektive
> Abbildung von [mm]\IN\to \IZ[/mm] geben. Und die Bijektivität muss
> ich sicher auch beweisen!
>
> f: [mm]\IN_0\to \IZ, n\to[/mm] f(n):= [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{2}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\
\bruch{-n+1}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Sicher nicht [mm] \tfrac{2}{n}, [/mm] sondern [mm] \tfrac{n}{2}.
[/mm]
Es wird also [mm] 2\to{1}, 4\to{2}, 6\to{3}, \cdots [/mm] abgebildet.
Ein Problem ist allerdings die Angabe [mm] \IN_0, [/mm] weil die Vorschrift auch für die gerade Zahl 0 gilt: [mm] 0\to0
[/mm]
Bei den ungeraden Zahlen aus [mm] IN_0 [/mm] geht es so:
[mm] 1\to{0}, 3\to{-1}, 5\to{-2}, \cdots
[/mm]
Wie man sieht (aber noch zeigen muss), werden zwei unterschiedliche ungerade Zahlen auch auf unterschiedliche negative Zahlen abgebildet.
Leider ist die Null ein Problem, denn es gilt sowohl [mm] 0\to{0} [/mm] als auch [mm] 1\to{0}. [/mm] Die Rückoperation ist also nicht eindeutig.
Es gibt zwei einfache Wege, dieses Problem zu lösen. Denk mal drüber nach.
Ansonsten genügt es dann zu zeigen, dass sich eine entsprechende Funktionsvorschrift für [mm] \IZ\to\IN [/mm] definieren lässt.
Grüße
reverend
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oh...das war ein Tippfehler! selbstverständlich muss es n/2 heißen :)
Dann sollte ich wohl doch besser [mm] \IN [/mm] anstelle von [mm] \IN_0 [/mm] verwenden :)
Vielleicht könnte ich eine Umkehrfunktion angeben? wie z.B. [mm] f^-1=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x >0 \\ -2x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
....wobei das ja keine Bijektion beweist.....hmmm...bin ratlos!
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Hallo,
> oh...das war ein Tippfehler! selbstverständlich muss es
> n/2 heißen :)
> Dann sollte ich wohl doch besser [mm]\IN[/mm] anstelle von [mm]\IN_0[/mm]
> verwenden :)
Das erscheint ausnehmend sinnvoll. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielleicht könnte ich eine Umkehrfunktion angeben? wie
> z.B. [mm]f^-1=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x >0 \\
-2x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
Naja, so ähnlich...
[mm] $f^{-1}=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x>0 \\ -2x\blue{+1}, & \mbox{für } x\blue{\le}0 \end{cases}$
[/mm]
> ....wobei das ja keine Bijektion beweist.....hmmm...bin
> ratlos!
Wohl wahr. Du müsstest schon noch zeigen, dass [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] und [mm] f^{-1}(f(y))=y [/mm] ist und da es um unendliche Mengen geht, solltest Du auch noch nachweisen, dass die zu untersuchende Menge tatsächlich ganz erfasst ist.
Dafür hast Du jetzt aber das richtige und vollständige Material.
Grüße
reverend
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okay, dann war ja der Ansatz soweit richtig. jetzt besteht nur noch das Problem darin, wie man sowas zeigt, denn damit komme ich nicht voran!
Könnt ihr mir dazu zumidnest den Anfang geben? Vielleicht klappt das dann alleine!
Mathegirl
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Na, was sind denn die Bedingungen für Injektivität und Surjektivität?
Wenn jedem Element aus [mm] \IN [/mm] genau eines aus [mm] \IZ [/mm] zugeordnet wird, ist diese Abbildung...
Wenn in der Umkehrung jedem Element aus [mm] \IZ [/mm] genau eines aus [mm] \IN [/mm] zugeordnet wird, ist diese Abbildung...
Also gilt...
Da ist nicht mehr viel zu zeigen.
Grüße
reverend
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