gleichm. abgeschlossene Hülle < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $E_{1} [/mm] = [mm] \{x^{n}:[0,1] \rightarrow \IR \; | \; n \in \IN \}$ [/mm] und [mm] $E_{2} [/mm] = [mm] \{(\bruch{1}{2}x)^{n}:[0,1] \rightarrow \IR \; | \; n \in \IN \}$. [/mm] Zeigen Sie, dass in $C([0,1])$ gilt [mm] $\overline{E}_{1} [/mm] = [mm] E_{1}$ [/mm] und [mm] $\overline{E}_{2} [/mm] = [mm] E_{2} \cup \{0:[0,1] \rightarrow \IR \}$. [/mm] |
Mit $C([0,1])$ ist hier die Menge aller komplexwertigen stetigen, beschränkten Funktionen mit Definitionsbereich [0,1] gemeint.
In unserem Skript wird in der Definition noch auf die Supremumsnorm hingewiesen.
[mm] $\overline{E}$ [/mm] bezeichnet hier die gleichmäßig abgeschlossene Hülle.
Die Abgeschlossene Hülle besteht ja nach Definition aus den Grenzfunktionen, gegen die die Funktionen aus E konvergieren. Wir haben bereits in einer anderen Aufgabe gezeigt, dass die abgeschlossene Hülle einer Algebra A wieder eine Algebra B ist. Ich weiß nicht ob mir das hier hilft.
Muss ich hier zeigen, dass ich die Grenzfunktionen aus [mm] $\overline{E}_{1}$ [/mm] als Polynome aus [mm] $E_{1}$ [/mm] darstellen kann? Oder ist diese Überlegung falsch? Ich weiß im Moment nicht wie ich weiter vorgehen soll...
Würde mich über Tipps freuen.
Ich muss jetzt erstmal in die Vorlesung.
Die Aufgabe müsste ich Freitag abgeben.
LG musesician
PS: Dies ist mein erster Beitrag, also lasst Milde walten 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | musesician |
Also:
Ich habe nochmal unser Skript nach Definitionen und Sätzen durchwült und mir etwas Klarheit verschafft:
Ich glaube ich habe die Aufgabe fast gelöst und möchte nur wissen, ob das alles richtig ist.
Hier noch ein paar wichtige Sätze:
Satz 1:
Die "abgeschlossene Hülle" [mm] $\overline{E}$ [/mm] von $E$ in $C(X)$ mit Metrik $d(f,g)= ||f-g||$ (hier ist die Supremumsnorm gemeint) wird auch "gleichmäßig abgeschlossene Hülle" genannt.
Satz 2:
Es gilt: Sei $E [mm] \subset [/mm] C(X)$, dann liegt $f [mm] \in [/mm] C(X)$ genau dann in der gleichmäßig abgeschlossenen Hülle von E, wenn es eine Folge [mm] $(f_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] von Funktionen in E gibt, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
Außerdem gilt für abgeschlossene Hüllen:
- $E'$ bezeichnet die Menge aller Häufungspunkte von E in X
- [mm] $\overline{E} [/mm] = E [mm] \cup [/mm] E'$
Ich verstehe das letzte so: Die abgeschlossene Hülle einer Menge besteht aus der Menge selbst und ihren Häufungspunkten.
Jetzt habe ich die beiden Mengen [mm] $E_{1}$ [/mm] und [mm] $E_{2}$ [/mm] (s.o.) nochmal genauer bezüglich gleichmäßiger Konvergenz untersucht und folgendes festgestellt:
Die Funktionenfolgen in [mm] $E_{1}$ [/mm] konvergieren nur punktweise, also [mm] $lim_{n \rightarrow \infty} f_{n} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0 \;\;, \;\; \mbox{für} \;\; x \in [0,1[ \\ 1 \;\;, \;\; \mbox{für} \;\; x =1 \end{cases}
[/mm]
Sie konvergieren nicht gleichmäßig!
Allerdings kann ich das nicht zeigen, da bräuchte ich nochmal Hilfe!
Die Funktionenfolgen in [mm] $E_{2}$ [/mm] konvergieren punktweise gegen $f(x)=0$, also [mm] $f:=lim_{n \rightarrow \infty} f_{n} [/mm] = 0 [mm] \;\; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$
Und sie konvergieren alle gleichmäßig, da [mm] $||f-f_{n}|| [/mm] = [mm] ||0-(\bruch{1}{2}x)^{n}||=(\bruch{1}{2}x)^{n}=\bruch{1}{2^{n}}x^{n}$ [/mm] und [mm] $lim_{n \rightarrow \infty} (\bruch{1}{2^{n}}x^{n}) [/mm] = 0$.
Laut unserer Definition konvergiert diese Funktionenfolge also gleichmäßig gegen 0.
Somit folgt dann [mm] $\overline{E}_{2}= E_{2} \cup \{0 : [0,1] \rightarrow \IR\}$.
[/mm]
Nochmal zusammenfassend:
Da die Funktionen in [mm] $E_{1}$ [/mm] nicht gleichmäßig konvergieren, liegen die Grenzfunktionen nicht in der abgeschlossenen Hülle.
Die Funktionen in [mm] $E_{2}$ [/mm] konvergieren sehr wohl gleichmäßig gegen 0 also enthält die abgeschlossene Hülle zusätzlich die Funktion $f(x)=0$.
Ist das alles so richtig?
Auf jeden Fall bräuchte ich wie gesagt beim Widerlegen der gleichmäßigen Konvergenz von [mm] $E_{1}$ [/mm] noch Hilfe.
Vielen Dank schonmal und Liebe Grüße
musesician
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Huhu,
sieht alles bisher recht gut aus, bis auf eine Kleinigkeit:
> $ [mm] ||f-f_{n}|| [/mm] = [mm] ||0-(\bruch{1}{2}x)^{n}||=(\bruch{1}{2}x)^{n}=\bruch{1}{2^{n}}x^{n} [/mm] $ und $ [mm] lim_{n \rightarrow \infty} (\bruch{1}{2^{n}}x^{n}) [/mm] = 0 $.
> Laut unserer Definition konvergiert diese Funktionenfolge also gleichmäßig gegen 0.
Dass nur der Grenzwert gegen 0 geht, reicht letztlich nicht. Das tut er auch bei punktweiser Konvergenz.
Überleg dir noch, wieso die Abschätzung eigentlich lauten müsste und die Wahl von [mm] n_0 [/mm] wirklich unabhängig von x ist (das ist ja die Definition von glm. Konvergenz)
$ [mm] ||f-f_{n}|| [/mm] = [mm] ||0-(\bruch{1}{2}x)^{n}||=||\bruch{1}{2^n}x^n||=\bruch{1}{2^{n}}$
[/mm]
> Auf jeden Fall bräuchte ich wie gesagt beim Widerlegen der gleichmäßigen Konvergenz von $ [mm] E_{1} [/mm] $ noch Hilfe.
Ihr hattet bezüglich glm. Konvergenz bestimmt schon den Satz
"Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist stetig."
Deine Zielfunktion ist das nicht, also?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Do 20.05.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Sei [mm] g_n(x):=x^n. [/mm] Die Folge konvergiert auf I:=[0,1] punktweise, aber nicht gleichmäßig, denn der punktweise Limes ist auf I nicht stetig.
2. Sei f [mm] \in \overline{E_1}. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (f_n) [/mm] in [mm] E_1 [/mm] so, dass [mm] (f_n) [/mm] auf I gleichmäßig gegen f konvergiert.
Nun überlege Dir, dass, wegen 1. , es ein m [mm] \in \IN [/mm] geben muß mit [mm] $f=f_m$
[/mm]
Fazit: $f [mm] \in E_1$
[/mm]
FRED
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Tut mir leid, dass ich mich bisher nicht gemeldet habe,
aber ich musste mich an den Webmaster hier wenden,
weil ich mich nicht mehr einloggen konnte. Also:
"Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist stetig."
Deine Zielfunktion ist das nicht, also?"
Vielen Dank für diesen Hinweis Gonozal_IX.
Hat mir bei der Lösung der Aufgabe geholfen.
Danke euch beiden für die schnelle Rückmeldung!
LG musesician
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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