glatter Weg < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 So 03.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
bei Wegintegralen definiert man ja, dass ein glatter Weg stetig differenzierbar ist. Wenn der Weg jetzt
[mm] $\gamma: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ ist mit $a,b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und a<b. Fordert man dann damit komplexe Differenzierbarkeit in jedem Punkt oder nur reelle Differenzierbarkeit, wenn man von stetig differenzierbar spricht?
Viele Grüße,
Reynir
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Weder noch. Die Begriffe komplex differenzierbar und reell differenzierbar beziehen sich auf Funktionen einer komplexen Variablen mit komplexen Werten. Ein Weg in [mm]\mathbb{C}[/mm] ist aber eine Abbildung einer reellen Variablen mit komplexen Werten. Nennen wir wie üblich die reelle Variable [mm]t[/mm] und [mm]u(t),v(t)[/mm] Real- und Imaginärteil des Kurvenpunktes, so können wir schreiben:
[mm]\gamma: \ w(t) = u(t) + \operatorname{i} v(t) \, , \ a \leq t \leq b[/mm]
Und differenzierbar heißt der Weg, wenn [mm]u(t),v(t)[/mm] differenzierbare Funktionen sind, wie man sie aus der Schule kennt. Differenziert wird komponentenweise:
[mm]w'(t) = u'(t) + \operatorname{i} v'(t)[/mm]
Beispiel:
[mm]w(t) = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} = \cos(t) + \operatorname{i} \sin(t) \, , \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
[mm]w'(t) = - \sin(t) + \operatorname{i} \cos(t) = \operatorname{i} \left( \cos(t) + \operatorname{i} \sin(t) \right) = \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 So 03.04.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke, das hat mir sehr geholfen.
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