ggT von 2 teilerfremden Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 So 06.06.2010 | | Autor: | QTPi |
| Aufgabe | | Sei ggT(a,b)=1, daraus folgt, dass [mm] ggT(a^n,b^k)=1 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1, k [mm] \ge [/mm] 1. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ggT(a,b)=1, kann man dies auch schreiben als:
ax + by = 1.
Doch weiter komme ich nicht ... :(
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG, QT [mm] \Pi
[/mm]
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Hallo [mm] QT\Pi,
[/mm]
Du scheinst mir in die falsche Richtung zu marschieren.
Wenn [mm] \ggT(a,b)=1 [/mm] bekannt ist, was musst Du dann wissen, um [mm] \ggT(am,b) [/mm] zu bestimmen?
Damit kannst du die Aufgabe komplett lösen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 06.06.2010 | | Autor: | QTPi |
Hi reverend,
> Du scheinst mir in die falsche Richtung zu marschieren.
Oh ja .... ;o)
> Wenn [mm]\ggT(a,b)=1[/mm] bekannt ist, was musst Du dann wissen, um
> [mm]\ggT(am,b)[/mm] zu bestimmen?
Ich vermute, dass Du auf die "Rechenregel" für ggT:
[mm]\ggT(a, m,b) = 1 \Rightarrow \ggT(a,b) \cdot \ggT(m,b) = \ggT(am,b)[/mm]
hinaus willst.
> Damit kannst du die Aufgabe komplett lösen.
Also, [mm]m=a^{n-1}[/mm], denn [mm]am=a^n[/mm].
Im nächsten Schritt muss ich belegen, dass [mm]m[/mm] weder [mm]a[/mm] noch [mm]b[/mm] teilt.
Da [mm]a | a^(n-1)[/mm] gilt, würde [mm] a^{n-1} | a [/mm] nur gelten wenn [mm] a^{n-1} = a [/mm] ...
Muss ich nun den Fall [mm] a^2 [/mm] ausschließen? ich komme damit irgendwie nicht ganz zurecht - sorry.
Doch ich habe hier einen anderen Beweisversuch:
Da [mm]\ggT(a,b)=1[/mm] ist, kann man einen der beiden Variablen a oder b als Primfaktoren wie folgt darstellen:
[mm] a = p_1^{i_1} p_2^{i_2} \cdots p_s^{i_s} [/mm] und [mm] b = q_1^{j_1} q_2^{j_2} \cdots q_t^{j_t} [/mm],
wobei [mm]p_1^{r_1}, p_2^{r_2}, \ldots, p_s^{k_s}[/mm] und [mm]q_1^{r_1}, q_2^{r_2}, \ldots, q_t^{k_t}[/mm] unterschiedliche Primzahlen sind. Außerdem sind [mm]i_1, i_2, \ldots i_s[/mm] und [mm]j_1, j_2, \ldots j_s[/mm] natürliche Zahlen.
Dann
[mm] a^n = p_1^{ni_1} p_2^{ni_2} \cdots p_s^{ni_s} [/mm] und [mm] b^k = q_1^{kj_1} q_2^{kj_2} \cdots q_t^{kj_t} [/mm],
Daraus folgt, dass [mm]a^n[/mm] und [mm]b^k[/mm] teilerfremd sind. (q.e.d.)
Vielen Dank für Anmerkungen vorab!!!
LG, [mm] QT\pi
[/mm]
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Hallo cutiepie,
da hast Du doch eine Lösung, die geht und sauber ist. Gratulation!
Für den Ansatz über (am,b) genügt es, induktiv zu verfahren und m=a zu setzen. Dann erfährt man [mm] (a^2,b)=1. [/mm] Das ist der Anfang der vollständigen Induktion...
Genauso mit (a,bn); n=b setzen [mm] \Rightarrow (a,b^2)=1. [/mm] Eigentlich ist aber wegen der Symmetrie der Aufgabe hier keine weitere Induktion nötig, was aber nicht jeder Übungsleiter einsehen wird.
Dann mal weiter so!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 06.06.2010 | | Autor: | QTPi |
Herzlichen Dank für Deine Rückantwort. 
LG [mm] QT\pi [/mm]
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