ggT als Linearkombination < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Angenommen, es existieren a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit g = am +bn.
Was kann man dann über g sagen, bzw. ist g dann bereits dem ggT(m,n) oder benötigt man dazu noch eine zusätzliche Voraussetzung?
Kann man jede ganze Zahl als Linearkombination teilerfremder ganzer Zahlen darstellen? |
Guten Morgen :)
Naja, was soll man schon über g sagen können? g ist dann auch [mm] \in \IZ, [/mm] allerdings kann dies doch nicht der ggT sein, da a und b beliebige ganze Zahlen sein können.
Aber welche Voraussetzungen braucht man, damit g der ggT(m,n) ist?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
|
|
| |
|
Hallo WinterMensch
> Angenommen, es existieren a,b [mm]\in \IZ[/mm] mit g = am +bn.
> Was kann man dann über g sagen, bzw. ist g dann bereits
> dem ggT(m,n)
Wäre es so, dann wäre der Begriff "der größte gemeinsame
Teiler von m und n" in sich widersprüchlich. Denn wenn
man z.B. a und b mit am + bn = g hat, könnte man die
beiden Werte mit einem Faktor multiplizieren und damit
eine Zahl g' mit g'>g ebenfalls in der Form a'm + b'n = g'
darstellen.
> oder benötigt man dazu noch eine zusätzliche
> Voraussetzung?
> Kann man jede ganze Zahl als Linearkombination
> teilerfremder ganzer Zahlen darstellen?
Ja.
> Naja, was soll man schon über g sagen können? g ist dann
> auch [mm]\in \IZ,[/mm] allerdings kann dies doch nicht der ggT sein,
> da a und b beliebige ganze Zahlen sein können.
> Aber welche Voraussetzungen braucht man, damit g der
> ggT(m,n) ist?
g müsste die kleinste positive Zahl sein, die sich als
g = am + bn (mit [mm] a,b\in\IZ) [/mm] darstellen lässt.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> Hallo WinterMensch
>
>
> > Angenommen, es existieren a,b [mm]\in \IZ[/mm] mit g = am +bn.
> > Was kann man dann über g sagen, bzw. ist g dann bereits
> > dem ggT(m,n)
>
> Wäre es so, dann wäre der Begriff "der größte
> gemeinsame
> Teiler von m und n" in sich widersprüchlich. Denn wenn
> man z.B. a und b mit am + bn = g hat, könnte man die
> beiden Werte mit einem Faktor multiplizieren und damit
> eine Zahl g' mit g'>g ebenfalls in der Form a'm + b'n =
> g'
> darstellen.
Ok, das leuchtet mir ein. Und was kann ich trotzdem über g sagen?
Gilt auch hier g|a und g|b?
>
> > oder benötigt man dazu noch eine zusätzliche
> > Voraussetzung?
>
> > Kann man jede ganze Zahl als Linearkombination
> > teilerfremder ganzer Zahlen darstellen?
>
> Ja.
ok und warum geht das in [mm] \IZ? [/mm] in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] geht es ja zum Beispiel nicht, mir ist aber noch nicht ganz klar warum es in [mm] \IZ [/mm] immer geht.
>
> > Naja, was soll man schon über g sagen können? g ist dann
> > auch [mm]\in \IZ,[/mm] allerdings kann dies doch nicht der ggT sein,
> > da a und b beliebige ganze Zahlen sein können.
> > Aber welche Voraussetzungen braucht man, damit g der
> > ggT(m,n) ist?
>
> g müsste die kleinste positive Zahl sein, die sich als
> g = am + bn (mit [mm]a,b\in\IZ)[/mm] darstellen lässt.
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
Vielen Dank für die Antwort :)
|
|
|
| |
|
> > Hallo WinterMensch
> >
> >
> > > Angenommen, es existieren a,b [mm]\in \IZ[/mm] mit g = am +bn.
> > > Was kann man dann über g sagen, bzw. ist g dann
> bereits
> > > dem ggT(m,n)
> >
> > Wäre es so, dann wäre der Begriff "der größte
> > gemeinsame
> > Teiler von m und n" in sich widersprüchlich. Denn
> wenn
> > man z.B. a und b mit am + bn = g hat, könnte man die
> > beiden Werte mit einem Faktor multiplizieren und damit
> > eine Zahl g' mit g'>g ebenfalls in der Form a'm + b'n
> =
> > g'
> > darstellen.
>
> Ok, das leuchtet mir ein. Und was kann ich trotzdem über g
> sagen?
Wenn ggT(m,n) = t , ist natürlich t Teiler von n und von m
und auch von g = am + bn . Anders gesagt: g ist ein Viel-
faches von t !
> Gilt auch hier g|a und g|b?
Nein. Doch eben in der Regel gerade nicht !
> ok und warum geht das in [mm]\IZ?[/mm] in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] geht es
> ja zum Beispiel nicht,
Was genau geht da nicht ?
> mir ist aber noch nicht ganz klar
> warum es in [mm]\IZ[/mm] immer geht.
Da meinst du wohl diesen Satz:
> > Kann man jede ganze Zahl als Linearkombination
> > teilerfremder ganzer Zahlen darstellen?
Sind m und n teilerfremde ganze Zahlen, so ist ihr
einziger gemeinsamer (positiver) Teiler auch der ggT .
Wenn wir den Satz verwenden dürfen, dass sich der ggT
zweier Zahlen m und n stets als ganzzahlige LK davon
darstellen lässt: ggT(m,n) = am + bn , und wenn dazu
bekannt ist, dass ggT(m,n) = 1 , dann kann man doch
auch die Gleichung x m + y n = g (mit beliebigem ganz-
zahligen g) sofort lösen, nämlich mit
x = g a und y = g b
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Ok danke, ich denke ich habe es jetzt verstanden. :)
Wir hatten in der Vorlesung als Beisiel, dass der ggt von a = 6 und b = [mm] 2(\wurzel{-5}+1) [/mm] in [mm] \IZ[-5] [/mm] nicht existiert.
|
|
|
| |
|
> Ok danke, ich denke ich habe es jetzt verstanden. :)
> Wir hatten in der Vorlesung als Beisiel, dass der ggt von
> a = 6 und b = [mm]2(\wurzel{-5}+1)[/mm] in [mm]\IZ[-5][/mm] nicht existiert.
OK , und ich muss gestehen, dass ich zuerst das
Beispiel aus deiner Vorlesung nicht wirklich
verstanden habe. Jener Integritätsring hat
eben wirklich andere Eigenschaften als [mm] \IZ [/mm]
und es ist dort möglich, dass zwei Elemente
gar keinen ggT haben.
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
