ggT, Zahlen bestimmen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 16.01.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zwei ganze Zahlen [mm] x_0[/mm] und [mm] y_0[/mm] mit [mm] 36x_0 +21y_0 = 24 [/mm] |
eine Lösung ist z.B [mm] x_0 =3 [/mm] und [mm]y_0 = -4 [/mm] aber ich muss zugeben, dass ich das geraten habe.
Wie kann man die Aufgabe denn formal lösen?
ggT ? kgV ? Teilbarkeit? mir ist nichts ins Auge gesprungen....
Wäre nett, wenn jemand einen Tipp hätte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 So 16.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie zwei ganze Zahlen [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] mit [mm]36x_0 +21y_0 = 24[/mm]
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> eine Lösung ist z.B [mm]x_0 =3[/mm] und [mm]y_0 = -4[/mm] aber ich muss
> zugeben, dass ich das geraten habe.
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> Wie kann man die Aufgabe denn formal lösen?
> ggT ? kgV ? Teilbarkeit? mir ist nichts ins Auge
> gesprungen....
>
> Wäre nett, wenn jemand einen Tipp hätte!
Hallo,
ist dir die Modulorechnung geläufig?
Wenn nicht, auch nicht schlimm.
Auf alle Fälle lässt sich die Gleichung noch durch 3 teilen.
[mm]12x_0 +7y_0 = 8[/mm]
12 und 8 sind durch 4 teilbar, 7 jedoch nicht. Somit muss wenigstens auch [mm] y_0 [/mm] durch 4 teilbar sein.
Umstellen könnte man noch zu [mm] 12x_0=8-7y_0.
[/mm]
Probiere jetzt einfach für [mm] y_0 [/mm] den Wert 0 oder 4 oder 8 oder 12 oder 16 oder 20 einzusetzen. Jede Möglichkeit, in der das Ergebnis durch 12 teilbar ist, liefert eine weitere Lösung für [mm] x_0. [/mm] Sehr schnell wirst du merken, dass sich die Lösungen in regelmäßigen Abständen wiederholen.
Wenn du dich mit der Modulorechnung auskennst und
[mm]12x_0 +7y_0 = 8[/mm] nach dem Modul 7 betrachtest,
kommst du auf
[mm] 5x_0 \equiv [/mm] 1 mod 7,
somit auch auf
[mm] -2x_0 \equiv [/mm] 1 mod 7
[mm] -2x_0 \equiv [/mm] 8 mod 7
[mm] x_0 \equiv [/mm] -4 mod 7
Gruß Abakus
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