getrennte Ver. u Satz v. Rolle < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei h eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall [mm] I_{x} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und g eine stetig differenziebare Funktion auf einem offenen Intervall [mm] I_{y} [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] Für [mm] y_{1},y_{2} [/mm] in [mm] I_{y} [/mm] mit [mm] y_{1} [/mm] < [mm] y_{2} [/mm] ist [mm] g(y_{1})=g(y_{2})=0. [/mm] Dann gilt für eine Lösung s(x) des Anfangswertproblems y' = h(x)g(y), y(u) = v mit u in [mm] I_{x} [/mm] und v in [mm] ]y_{1},y_{2}[: y_{1} [/mm] < s(x) < [mm] y_{2} [/mm] für alle x in [mm] I_{x}. [/mm] |
Hallo nochmal,
diesmal ein Beweis, bei dem ich nicht weiter komme. Meine Beweisidee war folgende:
Die Vorraussetzungen garantieren ja schon, dass es solch eine Lösung s(x) gibt. Desweiteren deuten die Eigenschaften an g(y) im Intervall [mm] ]y_{1},y_{2}[ [/mm] extrem auf den Satz von Rolle hin, d.h. es gibt ein q in [mm] ]y_{1},y_{2}[ [/mm] für das g'(q) = 0 ist bzw. hier hat g ein Extremum. Setze ich jetzt v = q (das v aus der Anfangsbedingung), dann gilt s(u) = q und das ist ja in [mm] ]y_{1},y_{2}[. [/mm] Und jetzt komme ich nicht weiter. Jetzt müsste ich doch zeigen, dass alle anderen s(x) auch in [mm] ]y_{1},y_{2}[ [/mm] liegen. Aber was nützt mir da die Info, dass g in einem Punkt ein Extremum hat? Kann mir jemand von euch vielleicht eine "Starthilfe" geben?
Vielen Dank und Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht da wirklich y' =h(x)*g(y) oder ist das eher y'=h(g(y)) mit g(y) aus [mm] I_x?
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Di 23.10.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Leduart,
da steht tatsächlich y' = h(x)*g(y)
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei h eine stetige Funktion auf einem offenen Intervall
> [mm]I_{x}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] und g eine stetig differenziebare Funktion auf
> einem offenen Intervall [mm]I_{y}[/mm] -> [mm]\IR.[/mm] Für [mm]y_{1},y_{2}[/mm] in
> [mm]I_{y}[/mm] mit [mm]y_{1}[/mm] < [mm]y_{2}[/mm] ist [mm]g(y_{1})=g(y_{2})=0.[/mm] Dann gilt
> für eine Lösung s(x) des Anfangswertproblems y' = h(x)g(y),
> y(u) = v mit u in [mm]I_{x}[/mm] und v in [mm]]y_{1},y_{2}[: y_{1}[/mm] <
> s(x) < [mm]y_{2}[/mm] für alle x in [mm]I_{x}.[/mm]
Da g(y) an den Rändern des Intervalls [mm]]y_1,y_2[[/mm] 0 ist, muss auch [mm]y'[/mm] dort 0 sein (wenn es solch eine Lösung gibt).
Falls h(x) zusätzlich differenzierbar ist, ergibt sich durch Ableitung der DGL:
[mm]y'' = h'(x)g(y) + h(x)g'(y)y'[/mm],
dass auch [mm]y''[/mm] dort 0 sein muss.
Damit müsste sich doch Etwas anfangen lassen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank schon mal für die Antwort. Über die Konsequenzen deiner Ausführungen bin ich mir aber nicht klar. Also:
> Da g(y) an den Rändern des Intervalls [mm]]y_1,y_2[[/mm] 0 ist, muss
> auch [mm]y'[/mm] dort 0 sein (wenn es solch eine Lösung gibt).
OK, das ist klar, da y'=h(x)g(y) ist.
> Falls h(x) zusätzlich differenzierbar ist, ergibt sich
> durch Ableitung der DGL:
>
> [mm]y'' = h'(x)g(y) + h(x)g'(y)y'[/mm],
> dass auch [mm]y''[/mm] dort 0 sein
> muss.
Das ist auch klar. Jetzt habe ich also folgendes:
1. Da [mm] g(y_{1}) [/mm] = [mm] g(y_{2}) [/mm] = 0 ist y'(x) an diesen Stellen auch null (d.h. doch, dass es [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] geben muss mit [mm] y'(x_{1}) [/mm] = 0 und [mm] y'(x_{2}) [/mm] = 0 mit [mm] x_{1},x_{2} [/mm] im Existenzintervall, oder?)
2. Durch den Satz von Rolle weiß ich aber auch, dass ein v gibt mit g'(v) = 0 und y(u) = v in [mm] ]y_{1},y_{2}[; [/mm] und eigentlich kann man doch auch schließen, dass y'(u) ungleich null sein muss, oder.
Aber wie kann ich denn jetzt auf die Behauptung schließen?
Anscheinend bin ich zu dusselig.
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 24.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ich habe im Moment auch keinen Beweis, nur eine intuitives Argument:
Wenn die Funktion g keine Nullstellen hätte, würdest du durch Trennung der Variablen lösen:
[mm]\int_v^y \bruch{dy}{g(y)} = \int_u^x h(x) dx[/mm].
Wenn ich mich mit meinem y dem Wert [mm]y_1[/mm] annähere, divergiert das linke Integral, das rechte aber nicht, weil h stetig ist.
Betrachte das Beispiel [mm]y'=1-y^2[/mm], [mm]y(0)=\bruch{1}{2}[/mm]. Die Lösung ist
[mm]s(x) = \bruch{3\mathrm{e}^{2x}-1}{3\mathrm{e}^{2x}+1}[/mm]
Sie hat waagrechte Asymptoten bei [mm]y=\pm1[/mm].
Jetzt musst du nur noch einen formalen Beweis finden 
Ich denke auch noch darüber nach.
Viele Grüße
Rainer
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