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| Aufgabe | in einem kartesischen koordinatensystem des R3 sind gegeben die ebene E: [mm] x_1-3x_2+5=0 [/mm] und die geradenschar
[mm] g_k:x= \begin{pmatrix} 4 \\ k-2 \\ -k \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} k^{2}-1 \\ 8 \\ k \end{pmatrix} [/mm] ; [mm] \lambda \in [/mm] R, mit k als reellem scharparameter
a)ermitteln sie die lagebeziehung von E und [mm] g_k [/mm] in abhängigkeit von k |
dazu setz ich die gerade in die ebene ein, hab dann also
[mm] k^{2}\lambda-25\lambda-3k=0
[/mm]
stimmt das so, oder hab ich mich verrechnet?
hmm..und wenn die gerade echt parallel zur ebene sein soll, darf es keine wahre aussage geben. und wenn sie in der ebene liegt, muss eine wahre aussage rauskommen, also sowas wie 1=1. und wenn sie die ebene in einem punkt schneidet, muss es genau eine lösung für [mm] \lambda [/mm] geben, oder?
stimmt das so?
aber wie mach ich das dann?
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> in einem kartesischen koordinatensystem des R3 sind gegeben
> die ebene E: [mm]x_1-3x_2+5=0[/mm] und die geradenschar
> [mm]g_k:x= \begin{pmatrix} 4 \\ k-2 \\ -k \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\lambda \begin{pmatrix} k^{2}-1 \\ 8 \\ k \end{pmatrix}[/mm] ;
> [mm]\lambda \in[/mm] R, mit k als reellem scharparameter
>
> a)ermitteln sie die lagebeziehung von E und [mm]g_k[/mm] in
> abhängigkeit von k
> dazu setz ich die gerade in die ebene ein, hab dann also
> [mm]k^{2}\lambda-25\lambda-3k=0[/mm]
> stimmt das so, oder hab ich mich verrechnet?
Also ich komme auf
[mm]k^{2}\lambda-25\lambda-3k+15=0[/mm]
bzw.
[mm](k^{2}-25)\lambda-3k+15=0[/mm]
(diese Angabe aber "wie immer ohne Gewähr": vergleiche dies einfach nochmals mit Deiner eigenen Rechnung)
> hmm..und wenn die gerade echt parallel zur ebene sein
> soll, darf es keine wahre aussage geben. und wenn sie in
> der ebene liegt, muss eine wahre aussage rauskommen, also
> sowas wie 1=1. und wenn sie die ebene in einem punkt
> schneidet, muss es genau eine lösung für [mm]\lambda[/mm] geben,
> oder?
Ich würde nun einfach diese Gleichung nach der Anzahl Lösungen [mm]\lambda[/mm] untersuchen. Dazu würde ich eine Fallunterscheidung machen:
1. Fall [mm]k^2-25\neq 0[/mm]: dann ist die Gleichung linear in [mm]\lambda[/mm], d.h. es gibt genau eine Lösung [mm]\lambda[/mm] und demnach genau einen Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.
2. Fall [mm]k^2-25 = 0[/mm] in diesem Falle muss [mm]k[/mm] einen ganz bestimmten Wert ([mm]k=5[/mm]) haben damit es überhaupt eine (oder mehrere) Lösungen gibt: aber dann gibt es sogar unendlich viele Lösungen [mm]\lambda[/mm], d.h. im Falle [mm]k=5[/mm] liegt die Gerade in der Ebene.
Bleibt [mm]k=-5[/mm]: dann gibt es keine Lösungen [mm]\lambda[/mm], die Gerade ist parallel zur Ebene aber liegt nicht in der Ebene.
> stimmt das so?
> aber wie mach ich das dann?
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vielen dank! habs verstanden!
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