gerade mit parameter < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
mir sind zwei geraden gegeben
[mm] g:\vektor{3 \\ 2 \\ 1} +r*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
sowie
[mm] g_t:\vektor{3 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{t \\ t \\ 1-2*t}
[/mm]
ich soll nun ein t finden für das gilt [mm] g=g_t, [/mm] die Lösung lautet 0, dies ist mri jedoch komplett unverständlich, da wenn ich in [mm] g_t [/mm] für t 0 einsetzte ja kein richtungsvektor herauskommt der zu dem von g parallel wäre...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 So 07.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Gedanken sind komplett richtig, es gibt hier kein t für dass
[mm] \vektor{0\\1\\1}\parallel\vektor{t\\t\\1-2t}
[/mm]
Es müsste ja dann ein [mm] a\in\IR/\{0\} [/mm] geben, so dass:
[mm] a*\vektor{0\\1\\1}=\vektor{t\\t\\1-2t}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{0a=t\\a=t\\a=1-2t}
[/mm]
Aus GL1 folgt t=0, das in GL2 eingesetzt ergibt t=0, aber [mm] \blue{0}\red{\ne}1-2*\green{0} [/mm] , so dass GL3 nicht erfüllt ist.
Alternativ könntest du auch versuchen, [mm] g_{t} [/mm] umzuformen:
[mm] g_{t}:\vec{x}=\vektor{3\\1\\0}+s\cdot{}\vektor{t\\t\\1-2\cdot{}t}
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\0}+s\cdot{}\vektor{t\\t\\-2\cdot{}t+1}
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\0}+s\cdot{}\left[\vektor{t\\t\\-2t}+\vektor{0\\0\\1}\right]
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\0}+s\cdot{}\left[t*\vektor{1\\1\\-2}+\vektor{0\\0\\1}\right]
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\0}+st*\vektor{1\\1\\-2}+s\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\0}+s\vektor{0\\0\\1}+st*\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
[mm] =\vektor{3\\1\\s}+\underbrace{q}_{:=st}*\vektor{1\\1\\-2}
[/mm]
Jetzt siehst du auch, dass die Richtungsvektoren der Geraden nicht parallel sein können.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
danke, aber irgendwie muss ich die aufgabe falsch verstanden haben, da in der Lösung steht, dass t=0 g und [mm] g_t [/mm] identisch sind.
Also im aufgabentext wird formuliert, dass gezeigt werden soll, dass es eine Zahl [mm] t_0 [/mm] geben würde für die gilt, dass die Gerade g [mm] =g_t_0 [/mm] ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 07.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo quade!
Dann muss wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
okay gut aber ich kann doch trotzdem errechnen für welche Werte von [mm] g_t [/mm] eine Ebene schneidet oder ?
so z.B. die Ebene x+y-z=1
ich würde dann einfach einsetzten
[mm] (3+\lambda*t)+(1+\lambda*t)-(0+\lambda*(1-2*t))=1
[/mm]
wenn ich das nach [mm] \lambda [/mm] auflöse ergibt sich
[mm] \lambda=(-3)/(4*t-1) [/mm]
das bedeutet doch, dass es nur für t=1/4 keinen [mm] \lambda [/mm] - Wert gibt und daher für [mm] \lambda [/mm] sich [mm] g_t [/mm] und die ebene nicht schneiden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 07.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay gut aber ich kann doch trotzdem errechnen für welche
> Werte von [mm]g_t[/mm] eine Ebene schneidet oder ?
> so z.B. die Ebene x+y-z=1
> ich würde dann einfach einsetzten
> [mm](3+\lambda*t)+(1+\lambda*t)-(0+\lambda*(1-2*t))=1[/mm]
> wenn ich das nach [mm]\lambda[/mm] auflöse ergibt sich
> [mm]\lambda=(-3)/(4*t-1)[/mm]
> das bedeutet doch, dass es nur für t=1/4 keinen [mm]\lambda[/mm] -
> Wert gibt und daher für [mm]\lambda[/mm] sich [mm]g_t[/mm] und die ebene
> nicht schneiden
Jein, du weisst, dass für $ [mm] t=\bruch{1}{4} [/mm] g [mm] \parallel [/mm] E $. Das kann aber auch noch heissen, dass g komplett in E liegt.
Wenn du dagegen [mm] \lambda=(-3)/(4*t-1) [/mm] in g einsetzt, erhältst du den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:40 So 07.03.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
ja aber den darf es ja dann icht geben oder?
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> hallo,
> ja aber den darf es ja dann icht geben oder?
Hallo,
wieso nicht?
Kannst Du das etwas ausführen? So weiß ich nicht, auf welchen Gedanken ich eingehen soll.
Gruß v. Angela
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> Hallo
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> > okay gut aber ich kann doch trotzdem errechnen für welche
> > Werte von [mm]g_t[/mm] eine Ebene schneidet oder ?
> > so z.B. die Ebene x+y-z=1
> > ich würde dann einfach einsetzten
> > [mm](3+\lambda*t)+(1+\lambda*t)-(0+\lambda*(1-2*t))=1[/mm]
> > wenn ich das nach [mm]\lambda[/mm] auflöse ergibt sich
> > [mm]\lambda=(-3)/(4*t-1)[/mm]
> > das bedeutet doch, dass es nur für t=1/4 keinen [mm]\lambda[/mm] -
> > Wert gibt und daher für [mm]\lambda[/mm] sich [mm]g_t[/mm] und die ebene
> > nicht schneiden
>
> Jein, du weisst, dass für [mm]t=\bruch{1}{4} g \parallel E [/mm].
> Das kann aber auch noch heissen, dass g komplett in E
> liegt.
Hallo,
nein, das ist falsch.
Man hatte [mm] 0=3+\lambda(4t-4).
[/mm]
Für [mm] t=\bruch{1}{4} [/mm] wird dies zu 0=3, und kein [mm] \lambda [/mm] der Welt macht dies richtig. Also gibt's keinen Schnittpunkt, Gerade und Ebene sind parallel, und die gerade liegt nicht in der Ebene.
Läge die Gerade für [mm] t=\bruch{1}{4} [/mm] in der Ebene, so bekäme man die Gleichung 0=0, die für jedes [mm] \lambda [/mm] gilt.
Für [mm] t\not=\bruch{1}{4} [/mm] hingegen haben [mm] g_t [/mm] und die Ebene mit der Gleichung 1=x+y-z einen Schnittpunkt:
> Wenn du dagegen [mm]\lambda=(-3)/(4*t-1)[/mm] in g einsetzt,
> erhältst du den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene.
>
> Marius
Gruß v. Angela
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