gerade berührt kreis < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 30.11.2006 | | Autor: | KatjaNg |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Zahl c [mm] \varepsilon \IR [/mm] so, dass die Gerade g: 3 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = c den Kreis k: [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2} [/mm] = 10 berührt. Bestimmen sie die Koordinaten des Berührpunktes. |
Hallo.
generell weis ich wie man die Lage untersucht. doch bei der Aufgabe hab ich da so meine probleme. mein Ansatz war das ich c normal behandle und bei g nach [mm] x_{1} [/mm] umstell um somit [mm] x_{1} [/mm] in k einsetzen zu können.
Dabei kommt folgendes heraus. 10 [mm] x_{1}^{2} [/mm] - 6 [mm] x_{1} [/mm] c + [mm] c^{2} [/mm] = 10
...weis aber nich wie weiter. Weis nur die Lösungen sind [mm] c_{1} [/mm] = 10 somit [mm] B_{1} [/mm] (3;-1) und [mm] c_{2}= [/mm] -10 und somit [mm] B_{2} [/mm] (-3;1 ).
Bitte um einen Lösungsweg...schnell...danke im vorraus schon mal.. MfG Katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Katja.
Du hast den kreis x²+y²=10, und die Gerade 3x-y=c [mm] \gdw [/mm] y=3x-c
Jetzt suchst du den Berührpunkt.
Dieser liegt ja auf dem Kreis und der geraden.
Also:
Gerade in Kreis einsetzen.
Dann steht dort.
x²+(3x-c)²=10
[mm] \gdw [/mm] x²+9x²-6cx+c²-10=0
[mm] \gdw x²-\underbrace{\bruch{6c}{10}}_{p}x+\underbrace{(\bruch{c²-10}{10}}_{q}=0
[/mm]
Das in die p-q-Formel eingesetzt ergibt:
[mm] x_{1;2}=\bruch{3c}{10}\pm\wurzel{\bruch{9c²}{100}-\bruch{c²+10}{10}}
[/mm]
Jetzt kommt der "Trick".
Da die Graphen sich berühren sollen, darf es nur eine n Schnittpunkt geben. Die P-Q-Formel liefert aber zwei Ergebnisse, es sei denn, der Term unter der Wurzel wird Null.
Und genau das berechnest du jetzt.
es gilt also:
[mm] \bruch{9c²}{100}-\bruch{c²+10}{10}=0
[/mm]
und daraus das c zu berechnen überlasse ich jetzt dir.
Marius
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