geordnete körper < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Sa 24.12.2005 | | Autor: | julie |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo
ich hab eine kleine Frage zu den geordneten Körpern bzw zu deren Definition
Wir haben folgende Definition aufgeschrieben:
Ein Körper K heißt geordnet,wenn eine Teilmenge P (genannt die positiven Elemente) gegeben ist mit folgenden Eigenschaften:
Ord1) Für jedes x [mm] \in [/mm] K filt entweder x [mm] \in [/mm] P oder -x [mm] \in [/mm] P oder x=0
Ord2) Aus x,y [mm] \in [/mm] P folgt x+y, x*y [mm] \in [/mm] P
(so..erste Frage: warum liegt -x in P? ich dachte in P liegen nur die positiven Elemente von K? und: Sind damit nicht schon alle Elemente aus K abgedeckt? ich mein, x kann ja nur positiv,negativ oder null sein..dann liegen ja alle elemente in P, dann kann P doch schon keine Teilmenge mehr sein, wenn alles da drin liegt,oder?)
weiter in der Definition:
sind x,y [mm] \in [/mm] K, so bedeutet x<y, dass y-x [mm] \in [/mm] P
Es gelten:
O1) Für x,y [mm] \in [/mm] K gilt entweder x<y oder x=y
O2) x<y und y<z impliziert x<z
MA) x<y [mm] \gdw [/mm] x+z < y+z
MM) x<y, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x*z [mm] \le [/mm] y*z
so, muss ich wenn ich beweisen möchte, dass es sich um einen geordneten Körper handelt all diese Eigenschaften zeigen oder nur O1),O2),MA),MM)? ich hoffe ihr denkt jetzt nciht, ich bin vollkommen verblödet..ich habs einfach noch nciht wikrlich verstanden..würde mich freuen ein paar antworten zu bekommen..ansonstn frohe weihnachten vlg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Sa 24.12.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo
Hallo julie
> ich hab eine kleine Frage zu den geordneten Körpern bzw zu
> deren Definition
> Wir haben folgende Definition aufgeschrieben:
>
> Ein Körper K heißt geordnet,wenn eine Teilmenge P (genannt
> die positiven Elemente) gegeben ist mit folgenden
> Eigenschaften:
>
> Ord1) Für jedes x [mm]\in[/mm] K filt entweder x [mm]\in[/mm] P oder -x [mm]\in[/mm] P
> oder x=0
> Ord2) Aus x,y [mm]\in[/mm] P folgt x+y, x*y [mm]\in[/mm] P
>
> (so..erste Frage: warum liegt -x in P? ich dachte in P
> liegen nur die positiven Elemente von K? und: Sind damit
> nicht schon alle Elemente aus K abgedeckt? ich mein, x kann
> ja nur positiv,negativ oder null sein..dann liegen ja alle
> elemente in P, dann kann P doch schon keine Teilmenge mehr
> sein, wenn alles da drin liegt,oder?)
Es heisst entweder $x$ oder $-x$ liegt in P. Das heisst, wenn [mm] $x\neq [/mm] 0$, dann schneidet P die zweielementige Menge [mm] $\{x,-x\}$ [/mm] in genau einem Element, deshalb ist P eine echte Teilmenge vom Körper K.
>
> weiter in der Definition:
> sind x,y [mm]\in[/mm] K, so bedeutet x<y, dass y-x [mm]\in[/mm] P
> Es gelten:
>
> O1) Für x,y [mm]\in[/mm] K gilt entweder x<y oder x=y
oder $y<x$, sonst ist es nicht richtig.
> O2) x<y und y<z impliziert x<z
> MA) x<y [mm]\gdw[/mm] x+z < y+z
> MM) x<y, 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x*z [mm]\le[/mm] y*z
>
> so, muss ich wenn ich beweisen möchte, dass es sich um
> einen geordneten Körper handelt all diese Eigenschaften
> zeigen oder nur O1),O2),MA),MM)? ich hoffe ihr denkt jetzt
01, 02, MA, MM sind logische Folgerungen aus Ord1 und Ord2, man muss deshalb nur Ord1 und Ord2 nachweisen.
> nciht, ich bin vollkommen verblödet..ich habs einfach noch
> nciht wikrlich verstanden..würde mich freuen ein paar
> antworten zu bekommen..ansonstn frohe weihnachten vlg
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 24.12.2005 | | Autor: | julie |
ach soo,..jetzt versteh ich! aber in p können also doch negative elemente liegen,oder? warum wird dann vorher geschrieben: ...Teilmenge P ( genannt die positiven Elemente) ? das wäre toll wenn mir das noch jemand sagen könnte! ansonsten schonmal vielen dank für die antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 25.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo julie,
auch Dir erst mal noch ein forhes Fest!
Zur Frage, ob in P auch negative Elemente liegen können:
Hier stellt sich für den Mathematiker ja erst mal die Frage, was negative Elemente überhaupt sind (bevor man die beschriebene Ordnung einführt). Die Definition "alle Elemente <0" kann man nicht verwenden, denn wir haben bis jetzt ja noch keine Ordnung definiert. Ein beliebiges Element kann also zunächst weder als positiv noch als negativ bezeichnet werden.
Jetzt Teilt man [mm] K\\ \{0\} [/mm] einfach willkürlich in zwei Teile, so dass der eine Teil die genannte Menge P bildet und nennt diese Elemente "positiv".
Warum findest Du heraus, wenn Du die Definition von x<y auf x = 0 und y [mm] \in [/mm] P anwendest....
Ich hoffe, das hat etwas geholfen.
Viele Grüße
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 28.12.2005 | | Autor: | julie |
juhuu ich glaub ich habs verstanden! danke!
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