geometrische Vielfachheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1- & -3 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & -2 &1 \\ 3 & 3 & 4 & -1 \\ -6 & -6 & -4 & 4}
[/mm]
gestimmen sie die Eigenwerte,die algebr. und geometrische Vielfachheiten! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
habe bereits die EWs berechnet: 0 und 2. algebraisch liegt 0 einmal vor und 2 dreimal.
Geometrisch liegt 2 zweimal vor und nun kommt mein Problem:
Für 0 krieg ich keine geometrische Vielfachheit hin,sprich ich finde keine Nullzeile.Aber die geometrische vielfachheit muss ja immer [mm] \ge [/mm] 1 sein. Was ist hier falsch??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 1- & -3 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & -2 &1 \\ 3 & 3 & 4 & -1 \\ -6 & -6 & -4 & 4}[/mm]
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> gestimmen sie die Eigenwerte,die algebr. und geometrische
> Vielfachheiten!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> habe bereits die EWs berechnet: 0 und 2. algebraisch liegt
> 0 einmal vor und 2 dreimal.
> Geometrisch liegt 2 zweimal vor und nun kommt mein
> Problem:
> Für 0 krieg ich keine geometrische Vielfachheit
> hin,sprich ich finde keine Nullzeile.Aber die geometrische
> vielfachheit muss ja immer [mm]\ge[/mm] 1 sein. Was ist hier
> falsch??
Ich hab das nicht gerechnet, aber entweder Du hast Dich verrechnet und 0 ist kein Eigenwert oder falls doch, so ist der Rang von A [mm] \le [/mm] 3.
Ohne Deine Rechnungen sieht niemand was Du falsch machst
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo nochmal,
also habe das charakteristische Polynom [mm] T^{4}-6T^{3}+12T^{2}-8T. [/mm] (Danke Angela^^) und damit durch ausklammern von T auch den EW = 0, also der stimmt (die anderen EW san sicher 2,aber hier eh uninteresant). wenn ich 0 einsetze in [mm] 0*E_{3}-A [/mm] dann komm ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \\ -3 & -3 & -4 & 1 \\ 6 & 6 & 4 & -4}
[/mm]
aber da keine der Zeilen ein Vielfaches von ner anderen Zeile is,gibt es auch keine Nullzeilen.....also hat die Matrix vollen Rang, was ja ned sein darf, wg. [mm] \le [/mm] 3 !!!!!!
Grüße
Nerix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo nochmal,
> also habe das charakteristische Polynom
> [mm]T^{4}-6T^{3}+12T^{2}-8T.[/mm] (Danke Angela^^) und damit durch
> ausklammern von T auch den EW = 0, also der stimmt (die
> anderen EW san sicher 2,aber hier eh uninteresant). wenn
> ich 0 einsetze in [mm]0*E_{3}-A[/mm] dann komm ich auf:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \\ -3 & -3 & -4 & 1 \\ 6 & 6 & 4 & -4}[/mm]
>
> aber da keine der Zeilen ein Vielfaches von ner anderen
> Zeile is,gibt es auch keine Nullzeilen
Das ist doch kein Kriterium !!!
In der Matrix
[mm]\pmat{ 1 & 1& 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 }[/mm]
ist auch keine Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile. Dennoch ist ihr Rang = 2
FRED
> .....also hat die
> Matrix vollen Rang, was ja ned sein darf, wg. [mm]\le[/mm] 3 !!!!!!
>
> Grüße
> Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ok,falsch ausgedrückt!!!Sorry!!
Also die angegebene Matrix für den EW 0 hat den rang 4 meiner meinung nach. was ist dann ihr geometrisches Vielfaches??Weil unser Prof des geometrische Vielfache definiert hat als Nullzeile am Ende des Gauß-Algorithmus.Eine andere Defenition kenn ich ned.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 10.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> ok,falsch ausgedrückt!!!Sorry!!
> Also die angegebene Matrix für den EW 0 hat den rang 4
> meiner meinung nach. was ist dann ihr geometrisches
> Vielfaches??Weil unser Prof des geometrische Vielfache
> definiert hat als Nullzeile am Ende des
> Gauß-Algorithmus.Eine andere Defenition kenn ich ned.
> Gruß
Also, wenn ich mich nicht verrechnet habe, so hat diese Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \\ -3 & -3 & -4 & 1 \\ 6 & 6 & 4 & -4} [/mm] $
den Rang = 4. Somit kann 0 kein Eigenwert sein !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
also ich hab etz bei arndt.brunner einen rechner gefunden,der einem die EWs automatisch berechnet,aber ohne Lösungsweg, der sagt auch,dass 0 ein EW is, genauso wie 2 (3-mal).Des is ja mein problem,dass des ned zusammenpasst.
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Hallo Nerix,
> hallo,
> also ich hab etz bei arndt.brunner einen rechner
> gefunden,der einem die EWs automatisch berechnet,aber ohne
> Lösungsweg, der sagt auch,dass 0 ein EW is, genauso wie 2
> (3-mal).Des is ja mein problem,dass des ned zusammenpasst.
Für die Matrix
[mm] \pmat{ \blue{-1} & -3 & -2 & 1 \\ -3 & -1 & -2 &1 \\ 3 & 3 & 4 & -1 \\ -6 & -6 & -4 & 4} [/mm]
ist 0 ein einfacher und 2 ein 3-facher Eigenwert.
Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
sind Lösungen des Gleichungssystems
[mm]\left(A-\lambda*I\right)*x=0[/mm],
wobei I die Einheitsmatrix und x der zu bestimmende Eigenvektor ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Di 11.05.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo fred97,
> > hallo,
> > ok,falsch ausgedrückt!!!Sorry!!
> > Also die angegebene Matrix für den EW 0 hat den rang 4
> > meiner meinung nach. was ist dann ihr geometrisches
> > Vielfaches??Weil unser Prof des geometrische Vielfache
> > definiert hat als Nullzeile am Ende des
> > Gauß-Algorithmus.Eine andere Defenition kenn ich ned.
> > Gruß
>
>
> Also, wenn ich mich nicht verrechnet habe, so hat diese
> Matrix
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \\ -3 & -3 & -4 & 1 \\ 6 & 6 & 4 & -4}[/mm]
>
> den Rang = 4. Somit kann 0 kein Eigenwert sein !
Bei dieser Matrix ist tatsächlich 0 kein Eigenwert.
Bei der Matrix
[mm]\pmat{ \blue{-1} & 3 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & -1 \\ -3 & -3 & -4 & 1 \\ 6 & 6 & 4 & -4}[/mm]
hingegen ist 0 ein Eigenwert.
>
> FRED
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hmmm... bei mir sind alle Zeilen linear unabhängig...
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