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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Fr 17.06.2011 | | Autor: | thesame |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe der geometrische Reihe mit an = [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] (n= 0,1,...) |
Die Formel kenn ich dafür, aber ich kann damit nichts anfange. Könnte mir vielleicht jemand eine Beispielrechnung durchführen, damit ich eine Vorgehensweise hätte ? Das wär echt lieb...
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Hallo thesame,
> Berechnen Sie die Summe der geometrische Reihe mit an =
> [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm] (n= 0,1,...)
> Die Formel kenn ich dafür, aber ich kann damit nichts
> anfange.
Du machst Witze, oder?
Was kannst du damit nicht anfangen??
Es ist für [mm]|q|<1[/mm] doch [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
Du hast [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Was entspricht hier also dem [mm]q[/mm] in der Formel und erfüllt es die Bedingung?
Setze dann ein!
> Könnte mir vielleicht jemand eine
> Beispielrechnung durchführen, damit ich eine
> Vorgehensweise hätte ?
Also wirklich, du bist doch nicht mehr in der Grundschule ...
> Das wär echt lieb...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 17.06.2011 | | Autor: | thesame |
tadam!!! und da ist der Widerspruch. Hat meine Lehrerin wohl eine falsche Formel gegeben ? Denn die gegeben Formel lautet:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ak = a1 * [mm] \bruch{1-q^n}{1-q}
[/mm]
Und nein, wir sind nicht in der Grundschule ;)
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Hallo nochmal,
> tadam!!! und da ist der Widerspruch. Hat meine Lehrerin
> wohl eine falsche Formel gegeben ? Denn die gegeben Formel
> lautet:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] ak = a1 * [mm]\bruch{1-q^n}{1-q}[/mm]
Nun, das ist dann für die endliche geometr. Reihe.
Es schien mir in der Ausgangsfrage so, als ob du den Wert der unendlichen geometr. Reihe berechnen wolltest.
Für die endliche geom. Reihe (geom. Summe) gilt die Formel:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] für alle [mm] $q\neq [/mm] 1$
Das konvergiert im Grenzprozess nur für $|q|<1$, daher ergibt sich die Formel für die unendliche geometr. Reihe
Überlege dir, ob die obige Formel für die endl. geom. Reihe zu deiner Formel gleichwertig ist.
Was ist bei dir [mm]a_k[/mm], was [mm]a_1[/mm] und passt es zu "meiner" Formel?
Beachte, dass es bei deiner Summe bei [mm]k=1[/mm] losgeht, bei meiner bei [mm]k=0[/mm] ...
Würde auch besser zur Aufgabe passen, du schriebst ja: "... für [mm]n=0,1,...[/mm] "
>
> Und nein, wir sind nicht in der Grundschule ;)
Dachte ich mir ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Fr 17.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
dass was du beschrieben hast ist ja eine Folge und keine Reihe. Du meinst sicherlich die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^n
[/mm]
Eine geometrische Reihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] konvergiert genau dann, wenn |q|<1 ist und zwar gegen den Grenzwert:
[mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
In deinem Fall ist [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm] und der Wert der Reihe also dementsprechend [mm] \bruch{1}{1-0.5}=2
[/mm]
Gruß, Yonca
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Fr 17.06.2011 | | Autor: | thesame |
Ich weiss es nicht, aber die Aufgabe lautet so wie sie dasteht :) Ich habe sie 1:1 übernommen :)
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