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| Aufgabe | | Es gilt bekanntlich für [mm] |x|<1:\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}=\frac{1}{1-x}. [/mm] Bestimmen Sie anhand dieser Formel die Reihendarstellung der Formel [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{x}} [/mm] mit |x|<1. |
Hallo,
eigentlich siehts ganz leicht aus.
Ich hatte erst folgenden Ansatz: [mm] \frac{1}{1-s}=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}. [/mm] Das führt natürlich dazu: [mm] s=\frac{1}{x} [/mm] und dann wollte ich als Reihe schreiben: [mm] \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{x})^{k}=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}.
[/mm]
Das dumme ist nun, dass gelten soll |x|<1, weshalb meine Reihendarstellung divergiert und somit garnicht mit so einer Formel ausgedrückt werden kann.
Dann hatte ich noch folgendes gemacht:
[mm] \frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{-x}{1-x}=-x\cdot\frac{1}{1-x}=-x\cdot\sum x^{k}=\sum-x^{k+1}. [/mm] Das wäre dann meine Reihendarstellung.
Aber ist das so richtig?
Ich hatte irgendwie schon das Gefühl, dass das auf diese [mm] \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{x})^{k} [/mm] Darstellung hinauslaufen soll, da sich andere Aufgaben genau mit dieser Reihe beschäftigen.
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Entweder ist die Aufgabe falsch gestellt, und es soll [mm]|x|>1[/mm] heißen. Daß in Aufgabenstellungen Fehler sind, ist kein selten vorkommendes Phänomen.
Oder die Aufgabe ist korrekt gestellt - dann ist dein Vorgehen genau das Richtige.
Wie wäre es, wenn du einfach beide Aufgaben lösen würdest, die für [mm]|x|<1[/mm] und die für [mm]|x|>1[/mm] ?
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